Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
п — — оо т, /г>0
-О © ©
2 X Е (^«-» ~ Ч'пЯт + Ят&т-пЯп) ~
т>0 0<га<т
-г ^ (п-т/2)(я^+пг1т<7п-л*т^пя|П+я)-
п, т>0
_ _ @ ©
- I Е Е (Я + т/2) К-яЛп -
я>0 0<т<гс
- I Е Е ^ + т/2) - "т-в?Х) ~
т>0 0<м</п
© V- ®
-2 Е -1Еп (ях_ q X) ^ -
п>0 /г >0
-^0w-2 5;^a+9x)?o-
/г> 0
3/ 'О ® / ^ ®
“ т- Ед к?» ~ ?х) яо+у Еn ("X _ ^х)q
/г >0 /г>0
(15.2.2.1)
Это выражение отличается от БРСТ-оператора Невё — Шварца наличием нулевых мод q° и л0.
15.2.3. Критическая размерность
Значения критической размерности и интерсепта снова следуют из требования нильпотентности Q на квантовом уровне. В общем случае нильпотентность Q нарушается вследствие наличия членов трех типов.
1. Члены, пропорциональные ао- Они (в й2) определяются выражением
2а0 Z rniX + 2a0 ? я1яп +%(Я°)2- (15.2.3.1)
«>0 гс>0
226 Глава 15
2. Члены, пропорциональные центральному заряду, и, следовательно, размерности пространства-времени. Они имеют вид
Е/г34Т]Л+ Z"2T fan- (15.2.3.2)
п> 0 /г> О
3. Вклады, возникающие вследствие переупорядочения би-квадратичных духовых членов. Они (в (QB)2) даются выражением
Z i Yj (15.2.3.3)
гс>0 п>0
В перекрестных членах QBQf + QfQs они равны нулю (здесь
QF — “фермионная часть” Q, явно задаваемая выражением
(15.2.2.1)).
Для иллюстрации вычислений мы выпишем сейчас неисчезающие члены в (Qf)2.
“Аномальные” члены возникают из антикоммутаторов, аналогичных выражению (13.2.4.2), возможно содержащих нулевые моды. Первый такой аномальный антикоммутатор возникает из [ф, ©] и равен (в (QF)2 = 1/2 [Qf, Qf])
-2i Yj Z <?X^_;](« + //2) =
m, л> 0 0 <k < m 0 <l<n
-чу-2Е( I
m>0 \0<fc<m J
= (15.2.3.4)
m >0
где НУ — неаномальное (нормально упорядоченное) выражение. Следующий аномальный член [®, @] имеет вид
2/ X S Кп?т-пЧп> К-ш'СЯп] =
т, /г>0 0<.k<m 0 <.1<п
= Ну-4 Z т^~1)ЯтЯт- (15.2.3.5)
m >0
Легко проверить, что в [ф, ©] и [@, ©] аномальные члены не входят, поэтому остается рассмотреть, кроме вклада нулевых
Фермионная струна: квантовый анализ 227
мод, рассматриваемого отдельно, член [D, ©], который дает
Z Z ( * + т) (* + т) КЛ-Л. =
т >0 0 < k < т п> 0 0</<гс
= ну+^л;ч„С ? (*+f)(?—*))=
m>0 \0<fe<m /
= НУ + Z 1СТ1« (тт7”3 ~ Тт* ~ т) ¦ (15.2.3.6)
т> 0
Рассмотрим теперь нульмодовые аномальные члены, которые возникают в [(7), (I)], [(§}, ®] и [®, ®]:
[@, <3>]-*2« Е « [<7>Л ("X “ <7Х) Ч0] =
т, л>0
= НУ - 2 ? (15.2.3.7)
п>0
[®, ®] -> зi Z л [(^т + q*m@m) <7°, (лХ - <7Х) яо] =
Я, w>0 LN
= -ЗЕ«?Х + НУ, (15.2.3.8)
я>0
[®, ©] 4 Z т» [(Vm<7„ - <7„Лт) "о, «Л„ - лХ) </о] =
п, т> 0
= Hy + 4E«2T|X- (15-2-3-9)
«>0
Комбинируя соотношения (15.2.3.1) — (15.2.3.8), получаем
Q2 = Z [п3 (т “ т) + 2а0п] <4п +
о
+ Z[tt2(4“5) + 2ao]^ + aoW (15.2.3.10)
п>0
Условие Q2 = 0 дает
rf = 10, (15.2.3.11а)
как в модели Невё — Шварца, но
а0 = 0. (15.2.3.116)
Теперь интерсепт равен нулю, и тахион не возникает.
228
Глава 15
15.2.4. Структура физического подпространства
БРСТ-оператор можно снова разложить по величинам г]0 и это дает _
Q = (а'р2 + L-a0)rf- М&о + Q, (15.2.4.1)
где L, М и й не зависят от г)° и поэтому мы не будем их здесь выписывать. Те же аргументы, что и в случае Невё — Шварца, позволяют устранить из физических состояний часть с т]°, поэтому мы полагаем |6>=0 в выражении |г|з>=|а>+ —(-16)т]0. Для таких состояний условие массовой поверхности, разумеется, должно выполняться^
