Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 / . Lnr — а0 \ 1 т-л al*L * + L nal„
Г‘~ = - рЧ"—2—— У /— ~
2 Vн 0 2а'р+ °/ 2 л/2а'п р+
Fm ~ F-m?m , /g" ^О-^О ~ ^
¦\JW р+ 8 л/W р +
i V1 /п F-mFm , г /77 ^О-^О ^0^0 /1С л , , ч
+ Т L V2 +-V2 -;7=-п+ - (15.4.1.1)
m > 0
В последнем члене этого выражения мы приняли антисимметричное упорядочение для нулевых Го-мод. Любое другое реальное упорядочение должно также приводить к выражению
(15.4.1.1).
Коммутатор [М‘, М<] в общем случае не равен нулю. Для него получаем
ГМ'", М1~) = ? [ч2 - у) + о,,] (ayain - а;/<) +
«>0
+-SW Z ["Ч^т2-2) +«о] (r;!r'-r;'ri)+
п> 0
-6аЧР-Н)»-а°(ðð-ГоГ^)- (15.4.1.2)
234
Глава 15
Требуя обращения в нуль выражения (15.4.1.2), получаем опять критические значения для d и а0:
d=10, а0 = 0. (15.4.1.3)
15.4.2. Спектр Рамона
Новая черта модели Рамона состоит в присутствии фермионных нулевых мод Го. На квантовом уровне они образуют алгебру Клиффорда.
В подходе световой калибровки независимыми являются только поперечные матрицы Го и выполняется условие
пп + Г<Го = 2ЬИ. (15.4.2.1)
Пространство неприводимого представления этих соотношений 16-мерно (8 независимых Г^-матриц) ’). Элементы этого пространства преобразуются как спиноры при SO (8) -вращениях, генерируемых соответствующими произведениями Го Го1. Именно поэтому все состояния спектра Рамона имеют полуцелый спин.
Хорошо известно, что в пространстве-времени четной размерности дираковское представление группы вращений приводимо. Оно сводится к двум неприводимым представлениям, получаемым при фиксировании определенной ориентации (при наложении вейлевского условия). В нашем случае 16-мерное пространство сводится к двум 8-мерным подпространствам.
Первое состояние в спектре является основным состоянием |0>; оно безмассово и обладает спином 1/2. Поскольку а0 = 0, тахион не возникает:
|0)и(р{, р+), 16 состояний, 2 спин 1/2, а'М2 = 0. (15.4.2.2)
Мы явно выделили зависимость основного состояния от всех переменных задачи. Состояние |0}и(р\р+) есть прямое произведение фоковского вакуума |0>
<Ю> = Г‘|0> = 0 (15.4.2.3)
¦) В световой калибровке изотропные Г-матрицы Г* являются функциями остальных переменных. Они не могут рассматриваться независимо. Заметим, что скалярное произведение и*и (где и — элемент пространства представления соотношения (15.4.2.1)), очевидно, положительно определено и приводит к эрмитовости всех Гд. В световой калибровке нет состояний с отрицательной нормой.
Фермионная струна: квантовый анализ
235
на спинор и, принадлежащий 16-мерному пространству представления соотношения (15.4.2.1). Состояние (15.4.2.2) также характеризуется своим rf-импульсом р', р+.
В свете наших замечаний относительно приводимости спи-норного представления основное состояние (15.4.2.2) без всякого усечения фактически содержит два представления группы Пуанкаре со спином 1/2 1).
Следующие состояния получаются при действии на вакуум осцилляторами а\1 или ГГ, имеющими SO (8)-векторный индекс:
а\11 0)и (р+, р~), ГГ|0)ы(р+, р~) (256 состояний). (15.4.2.4)
Они массивны, а'М2=\, и имеют спин 3/2 и 1/2. Масса для всех состояний снова задается массовой формулой
а'М2 = N — а0 = N. (15.4.2.5)
Высшие состояния рассматриваются аналогично.
15.4.3. Замкнутая струна
Здесь мы рассмотрим любопытную комбинацию правобегущего сектора модели Невё — Шварца с левобегущим сектором модели Рамона [50]. Произведение двух моделей Рамона рассматриваться не будет.
Нульмодовые связи имеют вид
L0_-i = 0 и Г0 = 0. (15.4.3.1)
Отсюда уравнение массовой поверхности и условие “равенства
правого и левого” имеют вид соответственно
1а'М2 = (лГк—i-) + WL, (15.4.3.2)
Nr~y=Nl. (15.4.3.3)
*) Поскольку р+ и р‘ не ограничены, оказывается также, что может быть положительным и отрицательным, как в предыдущих моделях. Состояния с отрицательным р° могут интерпретироваться как античастицы. Их можно отождествить с состояниями обладающими положительным р° (частицы основного состояния = античастицы основного состояния), что равносильно выбору лишь значений р° > 0 (в свободном спектре). Это и сделано здесь. Но в принципе на данном этапе можно не проводить этого отождествления, удваивающего спектр.
236
Глава 15
Уравнение (15.4.3.3) можно использовать для преобразования уравнения (15.4.3.2) к виду
-^¦а'М2 = 2Nl- (15.4.3.4)
В спектре отсутствует тахион, так как NL ^ 0.
