Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
242
Глава 16
позволяют строить разумную квантовую теорию. Можно лишь сказать, что он не соответствует свободной суперструне. Это означает, что выражение (16.1.2.1) составляет лишь одну часть полного лагранжиана.
К выражению (16.1.2.1) можно добавить члены, квадратичные по В\ такие как йар0“А,6?|д, л/— g g^- Но такие члены приводят к спинорным уравнениям второго порядка и, по-видимому, предполагают существование в спектре состояний с отрицательной нормой. Поэтому их следует отвергнуть.
Остается так называемый член Весса — Зумино [59], который всегда необходимо рассматривать в a-моделях. Этот член StASF-инвариантен с точностью до полной дивергенции, следовательно, уравнения движения инвариантны. Кроме того, он квадратичен по производным полей и, таким образом, “конкурирует” с кинетическим членом L\.
Для построения лагранжиана Весса — Зумино L2 сначала определяют замкнутые три формы ?23 на фактор-пространстве SUSY(N)/SO(d — 1, 1), инвариантные при преобразованиях SUSY. Эти замкнутые три-формы задаются путем образования внешних произведений инвариантных форм (16.1.1.3):
Q3 = /ГАЛ«Г Л сол Д сол, (16.1.2.3)
где прописные греческие индексы пробегают по всем один-фор-мам (16.1.1.3), а /гдл — константы.
Три-формы (16.1.2.3) лоренц-инвариантны, если константы fTAV являются компонентами соответствующей лоренц-инвари-антной величины. Единственная такая величина *) с подходящими индексами это (улС~1) аьаа$, где С — матрица зарядового сопряжения, а аа$ — чисто мнимая симметричная матрица2) во внутреннем пространстве. Здесь а и b — спинорные индексы.
Матрица аар может быть диагонализована вращениями во внутреннем пространстве координат 0. Поэтому без потери общности можно считать, что аар = 0 при а ф р.
Следующий этап построения заключается в наложении на йз условия замкнутости: dQ3 = 0. В явном виде a!Q3 задается
*) Если d—3, то имеется другой кандидат — форма еАвс&А Ла>ВЛ (ос, которая, однако, не замкнута в суперпространстве. Кроме того, случай f ~ может быть устранен переопределением 0“.
г) Матрица аар симметрична, поскольку матрица (¦улС~|)аг) также симметрична и deaa Д d$b = d0pb Д dQaa
Суперструна 243
выражением
dQ3 = ап (dQ1 Д уА dQ1) Д (dQ1 Д ул dQ‘) +
+ (ап + а22) (dQ1 Д уА dQ1) Д (dQ2 Д уА dQ2) +
+ аналогичные члены с (а, Р) = (2,2), (3,3), (1,3) и т. д.
(16.1.2.4)
Диагональные члены в этом выражении исчезают вследствие тождества
УлФ1^2УЛФз + + Ул’М^Т'Чг = 0, (16.1.2.5)
которое выполняется для майорана-вейлевских спиноров при d = 10 и майорановских спиноров при d — 4 и 3 (а также для вейлевских спиноров при d = 6, для которых применим подобный анализ).
Без тождества (16.1.2.5) член
(dQ1yA Д dQ1) Д (йб1 Д yAdQl) (16.1.2.6)
не обращается в нуль. Тогда условие dQз = 0 потребовало бы ац=0 (и а22 = о-зз= ••• =0), что уничтожило бы Q3. Поэтому возможность построения нетривиальных действий Вес-са — Зумино существует только для отдельных значений размерности пространства-времени со спинорами определенного вида. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие ситуации, когда выполняется тождество (16.1.2.5).
Если существует только одна суперсимметрия (iV=l), то тождества (16.1.2.5) достаточно, чтобы обеспечить условие dQz = 0, и условий на не возникает. Для N ^ 2 смешанные члены в выражении (16.1.2.4) сокращаются только в том случае, если
ааа + ярр = 0, а^=р. (16.1.2.7)
Это исключает случаи N > 2, для которых это условие приводит к требованию равенства величин аар нулю. Остается единственная возможность N — 2 и
ап — — 022 <=> tr аар = 0. • (16.1.2.8)
Таким образом, исследование замкнутых инвариантных три-
форм приводит к следующим двум случаям:
N=1, ?23 = iaa>A A dQyA Д dQ, (16.1.2.9)
N = 2,= ia(<оА Д dQ' Д уАdQ1 — сол Д dQ2 Д yAdQ2) (16.1.2.10)
вместе с упомянутыми выше определенными значениями размерности пространства-времени.
244 Глава 16
Форма Q3 не только замкнутая, но также точная:
Q3 = dQ2, (16.1.2.11а)
где
= - i dXA А (б'ул ^б1 - б2уА ^02) + 0V dQl Д 02ул dQ2
(16.1.2.116)
для N = 2. (Для N — 1 просто опускаем в последнем выражении члены с 02.)
Хотя Q3 St/SF-инвариантна, два-форма йг, содержащая неинвариантные один-формы dXA, инвариантна лишь с точностью до полной дивергенции (из 6Q3 = 0 следует, что S?22 = d (что-нибудь)). Это и есть член Весса — Зумино. Обратное отображение в (т — ст)-пространство дает лагранжиан L2:
а~Ч2 = - ie<#daXA (б'улсЗрб1 - 02ул^02) +
