Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Действие для суперструны впервые было открыто в световой калибровке [44,45]. Его ковариантная форма была найдена позднее [56].
Следуя недавней работе [57], мы выведем ковариантное действие суперструны как действие a-модели с членом Весса — Зумино.
16.1.1. SUSY(N)/SO(d — 1, 1) как пространство объектов
ст-Модели наследуют свои внутренние симметрии из пространства объектов. Например, струна Намбу — Гото глобально пу-анкаре-инвариантна, поскольку пространством объектов в этом случае является обычное пространство Минковского.
Для построения о-модели, инвариантной относительно градуированного расширения группы Пуанкаре, необходимо иметь пространство объектов, на котором действует эта супергруппа. Подходящим пространством оказывается фактор-пространство SUSY супергруппы с N суперсимметриями по лоренцевой подгруппе SO(d—1,1). Это многообразие изоморфно подгруппе SUSY(N), получаемой выбором только трансляций и N преобразований суперсимметрии.
На этом этапе мы оставляем N и d произвольными. Ограничения на эти параметры скоро появятся уже на классическом уровне.
Супермногообразие SUSY(N)/SO(d—1,1) можно параметризовать d коммутирующими координатами ХА [А = 0, ...
240 Глава 16
d—1) и N антикоммутирующими спинорами 0“ (а = = 1,2, ..., N), которые для простоты мы считаем удовлетворяющими майорановскому условию. Координаты ХА являются координатами пространства Минковского.
Действие SUSY(N) супергруппы на супермногообразии SUSY(N)/SO(d—1, 1) задается выражениями
Хл-+Хл + еА, 0а—>0“ (16.1.1.1)
(трансляции) и
XA->XA + i Е ёауЛ0“, 8а->0а + ва (16.1.1.2)
а = 1
(суперсимметрии), где е“ — N произвольных вещественных спи-норных параметров, а уА — у-матрицы в d измерениях (наши обозначения приведены в приложении Б). Кроме того, переменные ХА и 0“ при лоренцевых вращениях преобразуются как вектор и спиноры соответственно.
Для преобразований (16.1.1.1) и (16.1.1.2) легко построить инвариантные формы. Они имеют вид
со A = dXA-iQayAdQa, (16.1.1.3а)
d0“. (16.1.1.36)
Ниже мы всегда будем подразумевать суммирование по супер-симметричным индексам в выражениях типа (16.1.1.3а).
Явное вычисление вариации 6сол показывает, что шл действительно инвариантна относительно суперсимметрий:
бсо4 = 6 (dXA) - /60V dQa - /0Vв dQa =
= d 6ХА — i 60 V dQa — /0“уAd 60“ =
(используем условие [6, <i] = 0)
--a A —а А n
= ie Y «9 — Y dv = 0
(поскольку de = 0). Аналогично 6dda = d60a = 0. Легко проверить также инвариантность dQa и со4 при трансляциях.
Далее нам понадобятся некоторые свойства дифференциальных форм на супермногообразиях, которые мы кратко здесь изложим.
Дифференциальный оператор d удовлетворяет соотношениям, очень похожим на аналогичные соотношения для оператора внешней производной на обычном многообразии. Важную роль играет свойство
dy Adz = (—)Vz+1 dz Д dy, (16.1.1.4)
Суперструна 241
где еу и ег — грассмановы четности у я z соответственно (еу=0, если у четно, гу = 1, если у нечетно). Если у и z оба антиком-мутируют, свойство (16.1.1.4) принимает вид
dyAdz — dzAdy (еу = ег = \).
Имеем также
dyz = {—fy*zzdy, (16.1.1.5)
d (со Д v) = da A v + (—)fe®cD Д dv, (16.1.1.6)
где ?<д — степень и как формы. Из этих правил следует, что оператор d нильпотентен:
d2 = 0. (16.1.1.7)
Наконец, отображение двумерного пространства х% = (т, а) (Х = 0, 1) в супермногообразие SUSY(N)/SO(d—1,1) определяется заданием ХА и 0“ как функций от хх:
ХА = ХА (т, а), 0а=--9а(т, сг). (16.1.1.8)
Обратное отображение (pullback) SUSY(N)/SO(d—1,1) дифференциальных форм на двумерное пространство-время (хх) возникает при замене dXA на XA\dx% и dQa на 0“яйл:\ Обратное отображение коммутирует с d. Подробнее о дифференциальных формах на супермногообразиях см. книгу Весса и Беггера [58].
16.1.2. Инвариантное действие
Чтобы построить инвариантное действие, рассмотрим сначала кинетический член; он квадратичен по производным:
Ь^ = ~ШГ V-(2)? (16.1.2.1)
где мы положили
со^ = ХлЛ_г0%л9ая (16.1.2.2)
(аИ = соAdx*-y Форма ю4 инвариантна при трансляциях и преобразованиях суперсимметрии и преобразуется как вектор при ло-ренцевых вращениях, так что лагранжиан L\, очевидно, является Sf/Sy-инвариантным.
В течение некоторого времени лагранжиан (16.1.2.1) считался искомым суперсимметричным лагранжианом. Но он даже не обладает калибровочной свободой, достаточной для того, чтобы быть линеаризованным, и инвариантен только относительно двумерных репараметризаций. Его нелинейности не
