Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
В выражениях для связей, соответствующих случаю замкнутой струны, импульс рА заменяется на рА/2, а осцилляторы
216
Глава 14
аА, ЬА и ТА заменяются на право- и левобегущие сА, сА, bAt
К е г2-
Правый и левый секторы связаны друг с другом лишь посредством нульмодовых связей.
14.3.5. Супералгебра Вирасоро
В ковариантном методе квантования все динамические величины рассматриваются как операторы в псевдогильбертовом пространстве. Кроме прежних бозонных операторов имеются фермионные операторы рождения и уничтожения ЬА* и bf, удовлетворяющие соотношениям ')
[ь?, ЬВ*] = ЦАВ6Г s (r,s>0) (14.3.5.1)
в модели Невё — Шварца. Вакуум уничтожается всеми Ь? (г > 0):
Ь?\0, р) = 0 (г > 0). (14.3.5.2)
В модели Рамона аналогичную роль играют ненулевые моды Гл:
т
ГВ*] = 2цАВЬт п {т, п > 0), (14.3.5.3)
Г?|°, р) = 0 (т > 0). (14.3.5.4)
Следует рассмотреть также нулевые моды Г^. Они образуют алгебру Клиффорда:
Г*Г* + Т%ГА = 2цАВ. (14.3.5.5)
Следовательно, их можно отождествить с Г-матрицами в d измерениях.
Отсюда видно, что основное состояние в модели Рамона (и все возбужденные состояния) должно принадлежать пространству представления Г-матриц. Соответственно оно имеет спин 1/2 (спинор основного состояния). В d измерениях кратность вырождения основного состояния равна 2d/22). Возбужденные состояния также имеют полуцелый спин.
‘) В соотношениях (14.3.5.1) скобки обозначают антикоммутатор, соответствующий фермиевским переменным.
2) Фермиевские осцилляторы антикоммутируют с ТА. Если d четно, можно определить новые фермиевские осцилляторы Гд+1ГЛ, коммутирующие
с Г-матрицами. (Здесь Tq + 1 = ГцГц ... Гц-1.) Далее видно, что рассматриваемое псевдогильбертово пространство есть прямое произведение фоков-ского пространства, генерируемого бозонными и фермионными осцилляторами, на гильбертово пространство нулевых мод ХА, рА, и на пространство представления алгебры Клиффорда.
Фермионная струна: классический анализ
217
Построенное здесь гильбертово пространство содержит много состояний с отрицательной нормой, порождаемых временными компонентами осцилляторов. Кроме того, из соотношения (14.3.5.5) следует, что (Гц)2 = —1, что согласуется с условием (г”) = Г® лишь в том случае, когда внутреннее произведение не положительно определено.
Устранение состояний с отрицательной нормой является центральным вопросом в методе ковариантного квантования. В данном разделе он не рассматривается. Вместо этого мы покажем здесь, что классическая (супер)алгебра в квантовой механике модифицируется в результате появления с-числового аномального члена.
Супероператоры Вирасоро не зависят от неоднозначности упорядочения за исключением оператора L0, для которого различные способы упорядочения могут приводить к двум значениям L0, отличающимся на с-число. Поэтому мы вводим в квантовый оператор L0 неопределенную пока константу а0:
(14.3.5.6)
где Lo — нормально упорядоченное выражение.
Вычисление центрального заряда в супералгебре Вирасоро производится точно так же, как в бозонном случае. Поэтому мы лишь воспроизводим результат. Модифицированные (градуированные) коммутационные соотношения имеют вид
[Ln, Lm\ = (га — т) Ln+m + ~(п3 — п) 8п< _т, (14.3.5.7а) [Gr, GJ - 2Lr+S + |- (г2 - |) бг> _s : (14.3.5.76) для модели Невё — Шварца и
[Ln, Lm] = (n — m)Ln+tn + 1п3дП'_т, (14.3.5.8а)
[Fn, Fm] = 2Ln+m + 4 n26„, _m (14.3.5.86)
для модели Рамона. Коммутаторы [Ln, Gr] и [Ln, Fm] не содержат аномальных членов.
Следует заметить, что в модели Рамона нулевая мода Г^‘ тоже дает вклад в аномалию (условие Г^ • Г^ = О не выполняется на квантовом уровне). Этот вклад нулевой моды может
быть выделен путем принятия антисимметричного упорядочения для произведений матриц ГА.
218 Глава 14
Благодаря центральному заряду в квантовой теории можно наложить лишь “половину” связей:
(А) — ао) №) — 0, Ln | г|)> 0 (п > 0), (14.3.5.9а)
GSI -ф> = о (5>0) или /^ | т|з) = 0 (д> 0). (14.3.5.96)
Упражнения
1. Вычислите явно центральный заряд в соотношениях
(14.3.5.7) и (14.3.5.8).
2. Покажите, что путем прибавления к L0 соответствующей константы можно привести соотношение (14.3.5.8) к виду
(14.3.5.7).
Глава 15
Фермионная струна: квантовый анализ
В этой главе мы покажем, что критическая размерность для фермионной струны равна 10. Кроме того, интерсепт равен 1/2 для модели Невё — Шварца и обращается в нуль в случае граничных условий Рамона. Эти критические значения определяются как БРСТ-методом, так и методом световой калибровки. Они совпадают со значениями, получаемыми в рамках ковари-антного подхода, который здесь не рассматривается.
