Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку N(0) и N(л) независимы, единственная возмож-
А А
ность состоит в том, чтобы связать Ti и Гг на границах. Рассматривались два различных варианта:
Г? (0) = Гг (0), Г? (я) = Гг (л) (Рамон), (14.2.2.2)
и
rf (0) = Га (0), rf (я) = — Гг (я) (Невё - Шварц). (14.2.2.3)
(Легко проверить, что играет роль лишь относительный знак при 0, я.) Первый выбор соответствует модели Рамона, второй— модели Невё — Шварца.
При наложении условий (14.2.2.2) граничный член (14.2.2.1) обращается в нуль. Кроме того, не возникает проблем с гене-
р Jt
ратором V do, поскольку iV1 обращается в нуль на кон-
—
цах струны. Наконец, из 6 \ М9* da видно, что параметр суперкалибровки должен быть ограничен в соответствии с условиями М1 = М2 при <т = 0,
Af1 = Л12 (Р) или М' = -М2( НШ) при а = я. (14-2-2'4*
Можно снова суммировать условия (14.2.2.2) и (14.2.2.3) путем расширения интервала [0, я] до [—л, я]. Определим
( rf (о), О<0<я,
Г^)Н ^ " 04-2-2-5)
(. Г2 (—а), —я^ст^О.
Поскольку rf (0) = Гг1 (0), величина Г4 (а) непрерывна при о—0. (В действительности из сохранения во времени граничных условий за счет уравнений движения следует rf<n)(0) = (— 1)ЯГ2(п) (0) для всех п, так что все производные сшиваются.) Видно далее, что величина Г-4 (о), определяемая условиями (14.2.2.5), в случае граничных условий Рамона периодична с периодом 2л.
Фермионная струна: классический анализ 211
В случае граничных условий Невё — Шварца Гл(ст) антиперио-дична (Гд(а + 2я) =—Г4(а)).
Если функции
Q+(o) = P2 + jirA^~, -я<ст<я, (14.2.2.6а) ^(ст)-=Гл (а)РА(а), -я<ст<я, (14.2.2.66)
ввести на всем интервале [—л,+л],то условия <2+(ст) =Q~(o) = = 0 = 9;(о) на интервале [0, я] можно заменить условиями
Q+ (0) = 0 = 9 (ст), -я<ст<я, (14.2.2.7)
на интервале [—я, +я].
14.2.26. Замкнутая струна
Анализ для случая открытой струны показывает, что следует рассматривать как периодические, так и антипериодические функции rf (ст). Такой подход приводит к следующим трем возможностям [38, 50]:
rf (ст = 0) = rf (ст = 2я), 1 Гг (ст = 0) = Гг (ст ~ 2я); j
Ff (а = 0) = — rf (ст --= 2я),
Г2л(ст = 0) = Г2а(ст = 2я);
rf (ст = 0) = — rf (ст = 2я), rf (ст = 0) = — Г2Л (ст = 2я).
Суперкалибровочные параметры е^ст) и е2(ст) должны быть ограничены аналогичным образом. При выполнении этих условий гамильтониан является согласованным генератором (“концевые члены” при ст = 0 и 2я исчезают).
14.2.3. Суперкалибровочные преобразования — калибровочные условия светового конуса
Связи 9{а) = 0 генерируют локальные преобразования суперсимметрии, или, как они еще называются, “суперкалибро-
(14.2.2.8а)
(14.2.2.86)
(14.2.2.8в)
212 Глава 14
вочные” преобразования. Эти преобразования имеют вид
erf (rf) = [rf (сг), \ е1 (ст') Tf (ст') Рв (ст') da'] = Ше1 (о) РА (о),
(14.2.3.1)
6Гз (а) = 4тое2 (а) (а), (14.2.3.2)
&ХА (ст) = л л/2ае‘' (о) Г f (ст), (14.2.3.3)
бРА (ст) = 2и (- е1ГА1 + е2ГА2)'. (14.2.3.4)
Световая калибровка определяется как и ранее условиями Х+~ р+т, ^+' = 0. Нужно фиксировать также суперкалибровку, для которой в качестве калибровочных условий выбирают
Г/" (ст) = 0. (14.2.3.5)
В уравнении (14.2.3.5) содержится столько условий, сколько имеется суперкалибровочных параметров. Кроме того, поскольку Гг1" = 0, нельзя более производить суперкалибровочные преобразования, не нарушая условия (14.2.3.5) (если считать, что р+фО). Суперкалибровка полностью фиксирована.
Напомним, что условия Х+ ~ р+х и ?Р+/ = 0 в случае замкнутой струны все еще допускают наличие нулевой моды трансляций по ст.
Упражнение. Покажите, что на концах имеется достаточно свободы, чтобы удовлетворить уравнению (14.2.3.5).
14.2.4. Генераторы Пуанкаре
Переменные ХА и rf являются лоренцевыми векторами, поэтому можно непосредственно записать лоренцевы генераторы:
Я или 2я я или 2я
МАв = ~2 S (9>AXB-^BXA)do--^r 5 ?глгГвгЛт.
0 0 * (14.2.4.1)
Легко проверить, что скобки [Гл<(ст) МВс] дают правильный закон преобразования для Гл;(о). Кроме того, генераторы трансляций не изменяются:
л или 2л
РА — jj 2РА (ст) do, (14.2.4.2)
о
поскольку при пространственно-временных трансляциях меня-ются только ХА (ст) (firf = О).
