Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Как правило, мы рассматриваем вычисления только для случая открытой струны, если не оговорено другое.
15.1. Бекки — Рюэ— Стора— Тютина (БРСТ) квантование модели Невё— Шварца
15.1.1. Фоковское пространство духов
Кроме фермионных духов, встречавшихся выше, духовые моды теперь содержат коммутирующие степени свободы, которые мы обозначим символами qs и ns. Так как они ассоциируются с фер-мионными связями Gs = 0, то нумеруются полуцелыми числами. Они удовлетворяют соотношениям
?; = <7_s, *; = *_„ (15.1.1.1)
[q3, <,] =--= i6ss, = [<?, ns,]. (15.1.1.2)
Все остальные коммутаторы равны нулю.
Можно определить
V2 == qs + ins, д/2 vs = qs~ ins. (15.1.1.3)
Эти новые переменные удовлетворяют осцилляторным коммутационным соотношениям. Отметим, что операторы \s рождают из вакуума состояния с отрицательной нормой, а нульмодовые коммутирующие духи отсутствуют, поскольку нет нульмодовых: фермионных связей.
220
Глава 15
15.1.2. БРСТ-оператор
Согласно общим правилам, приведенным в работах [30, 31], БРСТ-оператор дается выражением
q = qb + Ц Grq_r—'Z0>-r-sqrqs~i'L n-msnmqs(s — m/2),
где Q8 — БРСТ-оператор для бозонной струны.
Нормальное упорядочение этого выражения приводит к выражению
Неоднозначность упорядочения проявляется лишь в члене с т)°. Два возможных способа упорядочения приводят к коэффициентам перед г|°, отличающимся на вещественное с-число, которое поглощается константой а0.
Упражнение. Проверьте классическую нильпотентность Q, [Q, Й] = 0.
15.1.3. Критическая размерность
Нильпотентность квантового БРСТ-генератора снова не очевидна вследствие неточной коммутативности (или антикоммутативности) квантовых операторов.
Если не считать члена с а0 и центрального заряда супералгебры Вирасоро, то ненулевые вклады в ?22 возникают лишь благодаря духам. Эти вклады появляются вследствие того, что антикоммутаторы, аналогичные антикоммутаторам (13.2.4.2), не являются нормально упорядоченными.
Г =
— оо
Г, S
(15.1.2.1)
(15.1.2.2)
Фермионная струна: квантовый анализ 221
В явном виде получаем
Q2= ? [пз(!_5.) +д|'2ао_| + |^]Т1.11га +
п> О
+ Z [s2(^J?)+|(16«o-^ + 2)]^s. (15.1.3.1)
s>0
Если положить Q2 = 0, то получаем упомянутые выше условия
rf = 10, ао = 1/2. (15.1.3.2)
Интерсепт все еще положителен, и в спектре присутствуют тахионы.
Упражнение. Проверьте соотношение (15.1.3.1).
Критическая размерность для фермионной струны недавно была вычислена теми же методами, которые использовались в работах [35, 51, 52].
15.1.4. Структура физического подпространства
Теперь мы охарактеризуем все решения уравнения Й|ф)=0. Для определенности состояние | ф) считается вектором, определяемым выражением
= (15.1.4.1)
где Xk — функции только нулевых мод:
Ч = М*о. л°), (15.1.4.2)
а |г|)/г> — векторы из фоковского пространства. Состояние
(15.1.4.1) может быть записано также в виде
| ф) = | а> + ] 6) г)0, (15.1.4.3)
чтобы выделить нулевую моду фермионного духа.
БРСТ-оператор (15.1.2.2) имеет вид
Q = (а'р2 + L - а0) rf - М&0 + Q, (15.1.4.4)
где, как и в случае бозонной струны, L — БРСТ-инвариантное расширение оператора номера уровня, которое включает также духи:
L = Na Nb Nn + Nq, (15.1.4.5)
222
Глава 15
где
Na= X папАаЛп, Nb— ? sb*sAbAs, (15.1.4.6)
tt>0 s>0
Ео«№„ + лХ), (15.1.4.7а)
Nq=—i г (nrqr — q’rnr) = ^ г ([i>r — у>г). (15.1.4.76)
Оператор M определяется выражением
М = 2 ? m^ + 2 Z <<7Г; (15.1.4.8)
п>О г>0
О — остающаяся часть БРСТ-генератора, которая не содержит нулевых духовых мод.
Легко проверить выполнение следующих коммутационных
соотношений:
[L, A1] = 0 = [L, Q] = [М, Q], (15.1.4.9)
и, кроме того, нильпотентность оператора Q в подпространстве а'р2 + L — а0 = 0.
БРСТ-оператор, действуя на состояние (15.1.4.3), дает
й | а) — М | Ь) + [(а'р2 + L — а0) | а) + Q | 6)] л0. (15.1.4.10)
Из этого факта вытекает следующая теорема.
Теорема. Член с г)° в любом состоянии |\|з> может быть поглощен состоянием вида ?2|х>-
Доказательство. Выберем состояние |%> равным | а') (т. е. т]0 не дает вклада в |х)), где la') — решение уравнения
(-a'n+L-aa)\a')=-\b). (15.1.4.11)
Это уравнение всегда имеет решения, как можно видеть, разлагая |6> также, как в выражении (15.1.4.1):
