Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
величины Gr суммированием только по поперечным степеням свободы. Другие генераторы здесь не приводятся, поскольку в явном виде они не нужны.
Алгебра Пуанкаре выполняется тривиально, если не считать коммутатора [М'~, М!~], который в общем случае оказывается не равным нулю. Длинные, но непосредственные вычисления показывают, что [Af‘-, Af/-] содержит не только член с ао, но также аномальные вклады, возникающие при нормальном упорядочении величины L0 [Хо, ? anLn + L-nan] и коммутаторов кубичных членов. Квантовомеханический коммутатор [Af1'-, Af'-]
Фермионная струна: квантовый анализ
231
имеет следующий явный вид:
[.М1 , М> ] 4о, (р+)2 Z [”2 ( 16 2 ) “°
rf —2 16
72 > О
V (а"‘а> — а*.!а1Л 4-
d — 2 16
r> о
XibVbi-bVbi)
(15.3.1.2)
и обращается в нуль только в том случае, если
й= 10, а0=1/2.
(15.3.1.3)
Эти критические значения совпадают с теми, которые найдены БРСТ-методами.
15.3.2. Спектр Невё — Шварца
Рассмотрение спектра Невё — Шварца следует соответствующей схеме для бозонной модели. Состояния данного массового уровня принадлежат представлению малой группы, которой является группа SO (8) для безмассовых состояний и группа SO (9) для массивных состояний. В последнем случае различные определенные представления группы SO (8) объединяются с образованием представления группы 50(9).
Так как ао = 1/2, основное состояние есть тахион с квадратом массы, равным —(2а7)_1:
Масса произвольного состояния определяется выражением
Осцилляторы Ь* увеличивают массу на полуцелые числа, а осцилляторы а* — на целые числа. Состояния с нечетным количеством осцилляторов Ь* соответственно имеют целые массы. Говорят, что они имеют G-четность, равную +1, где оператор G определяется выражением
Состояния с четным количеством осцилляторов Ь* имеют полу-целую массу и G-четность, равную —1. Основное состояние (тахион) имеет G — —1.
| 0), ah\0) = br\0) = 0, а'М2 =-1/2. (15.3.2.1)
а'М2 = Y па*паш + Е sbVbsi — ао = N — у. (15.3.2.2)
гг > О
s > О
(15.3.2.3)
232
Глава 15
Следующие возбужденные состояния являются безмассовы-ми SO(8)-векторами:
бТ/2! 0>, a'M2 = 0, G = 1, 8 состояний (спин 1). (15.3.2.4)
Они также должны быть безмассовыми, чтобы образовывать представление группы Пуанкаре (в противном случае количество состояний было бы недостаточным).
На следующем уровне с G = —1 имеем
(Й1/261/2 — &1/2&1/2) I 0), а'М2 = 1/2, G = — 1, 28 состояний,
(15.3.2.5)
а*г|0), а'М2 —1/2, G = —1, 8 состояний.
Затем идут массивные состояния с а'М2= 1:
^1/2^1/2^1/210), а'М2— 1, G == 1, 56 состояний, b*/2a[*\0), a'Af—l, G= 1, 64 состояния, (15.3.2.6)
63/21 0), а'М2= 1, G— 1, 8 состояний
и т. д. Все состояния в спектре имеют целый спин.
Напомним, наконец, что состояния характеризуются также компонентами их с/-импульса р+, рг (они определяют р~), хотя мы и не выписывали эту зависимость в соотношениях
(15.3.2.1) —(15.3.2.6) ').
15.3.3. Спектр замкнутой струны Невё — Шварца
Если и право- и левобегущие секторы описываются антиперио-дическими полями, то спектр замкнутой струны близок к описанному выше.
Основные уравнения представляют собой условие массовой поверхности
La'M2 = NR + NL — 1 (15.3.3.1)
и условие “равенства правого и левого”
N R — N L. (15.3.3.2)
‘) Следует также подчеркнуть здесь тот факт, что возбужденные состояния струны являются одночастичными состояниями, как можно видеть, например, из того обстоятельства, что спектр масс дискретный. Поэтому между спином и статистикой нет противоречия, несмотря на то, что мы имеем фермионные осцилляторы с векторным индексом. (Статистика имеет дело со многими частицами одновременно.)
Фермионная струна: квантовый анализ 233
Первое состояние является основным — тахион:
| 0), а'М2 = ~2, спин 0. (15.3.3.3)
Оно имеет Gp-четность —1, где
Gp==(_)?sbs ==(_)Ss5s‘bst-i> (15.3.3.4)
(Последнее равенство имеет место для состояний на массовой поверхности, удовлетворяющих соотношению (15.3.3.2).) Следующие состояния безмассовые:
bYbV\0>, Gp = 1, а'М2 — 0. (15.3.3.5)
Эти состояния могут быть расщеплены на бесследовый симметричный тензор (“гравитон”, спин 2), антисимметричный тензор второго ранга и скаляр спина 0.
Остальная часть спектра строится аналогично. Она содержит состояния только с целым спином.
15.4. Квантование модели Рамона в калибровке светового конуса
15.4.1. Пуанкаре-инвариантность
¦Лоренцев генератор М1~ задается выражением
