Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
+ 8“Р01ул<Заб102ул<Зрб2 (16.1.2.12)
(для N = 2), который StASy-инвариантен с точностью до полной дивергенции.
Поскольку N= 1-теория может рассматриваться как усечение N = 2-теории, мы сосредоточим внимание здесь только на более сложном случае N = 2.
Заметим, что в десяти пространственно-временных измерениях можно выбрать майорана-вейлевские спиноры 01 и 02 с одинаковой или противоположными киральностями, поскольку в обоих случаях получаем dQ3 = 0.
Обобщение выражения (16.1.2.12) на искривленное суперпространство обсуждается в работе [60].
16.1.3. Локальная суперсимметрия
Лагранжиан Li + L2 при а = ±1/2{па')~1 обладает замечательными свойствами. Он не только инвариантен при двумерных преобразованиях координат, но также обладает локальной симметрией нового типа [56]. Эта симметрия связана с произвольными функциями, являющимися одновременно d-мерными спинорами и 2-мерными векторами.
Для ее описания удобно ввести проекционные операторы
+ (16.1.3.1)
которые проектируют двумерный вектор vk на его изотропные компоненты :
v%±=P%±vpv, (16.1.3.2)
Суперструна 245
где знаки ± относятся к двум измерениям. Операторы Р±ц удовлетворяют соотношениям
Px+]lP%v = Pk+v, (16.1.3.3а)
Р^Р% = Р^, (16.1.3.36)
Р^Р% = Р^Р% = 0, (16.1.3.3в)
(Р^)Г = Р^ (16.1.3.3г)
и не столь очевидному тождеству
P±P'ia = P'ipP±. (16.1.3.4)
Если двумерный вектор удовлетворяет условию = то он касателен к одному из изотропных направлений ').
Локальные преобразования суперсимметрии, относительно которых действие инвариантно, имеют следующий явный вид:
6J31 = 2mA\APxJ1xlil, (16.1,3.5а)
би02 = 2гш ^УЛР+^, (16.1.3.56)
ькхА = i (eVM1 + eW), (1бл.з.5в)
6х (V11? g*) = -16 л/^g (Р^Р^щдрв1 + Р+рР^Ха<5р02),
(16.1.3.5г)
где и и2— инфинитезимальные параметры2). Как отмечалось выше, эти параметры представляют собой двумерные векторы и чисто мнимые десятимерные спиноры с киральностью, противоположной той, которую имеют 01 или 02 (так что 6И0“ имеет ту же киральность, что и 9а).
Из системы (16.1.3.5) можно видеть, что в законы преобразования входят только спроецированные компоненты н1} и н2^. Кроме того, поскольку двумерные изотропные компоненты аА определяют десятимерные изотропные векторы
= tUb(0+1(0+v = 0 (16.1.3.6)
‘) Если k'“ и /г?" — два ненулевых изотропных вектора, удовлетворяющих условиям k^ = k^+ и = (W kkk^ — n^ri^ = 0 и ?= 0 обычно нормируется на минус единицу), то легко видеть, что = v\ = v+k^
и еЛ = где v+ и v_ — компоненты сЛ в изотропной системе отсчета
2) Нет нужды выписывать вариацию поскольку в действие входит
только унимодулярная комбинация V— g
246
Глава 16
в результате полевых уравнений для метрики (см. следующий раздел), матрицы сйЛм,уЛ необратимы (они нильпотентны). Таким образом, в соотношениях (16.1.3.5а) — (16.1.3.5в) содержится дополнительное проецирование пространственно-временных спиноров и к2*; на одну из их изотропных спинорных компонент. Поэтому количество действительных калибровочных параметров в этих соотношениях равно 2X8=16 (8 — количество компонент изотропного кирального спинора). Это верно также для преобразования (16.1.3.5г), если принять во внимание спинорные уравнения движения.
Для проверки инвариантности действия Si + S2 (в котором а — !/2(яа')_1) — объекта преобразований (16.1.3.5), заметим, что если вариация ЬКХА связана с 6*0* и би02 посредством уравнения (16.1.3.5в), то вариация действия дается выражением
65= “-ШГ S 6 -
_ S g (в! *УА 601 + 0? б02) -
- ^Ья^1уЛбе1^л0,+
+-шг \ гуЛ'б02,3^л02 +
+1W \ (0,1 ,тл Й01 - 6? лл б02) -
-drSs^0V60*0W2-
- -?г ^ 602, (16.1.3.7)
где мы проинтегрировали по частям, чтобы исключить производные от 801 и 602 (заметим, что они сокращаются в
Если теперь к членам ддб'уддц01 и <Зл02Улдц02 применить преобразование Фирца с помощью тождества (16.1.2.5), то в результате получим
6S1 —щг \ 6 (V3? «**) ~
- -Щ- S V”11! (р- {У 601 + PfQ2, ЯУЛ 602) cov (16.1.3.8)
Дальнейшее использование уравнений (16.1.3.5) и (16.1.3.4) приводит к искомому результату бS = 0.
Поскольку параметры калибровочных преобразований анти-коммутируют, данные преобразования можно называть “локаль-
