Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
\b)=Zh(X*)\bk). (15.1.4.12)
Здесь можно принять, что фоковский вектор \bk) имеет определенный номер уровня Lk¦ Поэтому уравнение (15.1.4.11) принимает вид
(—а' ? + Lk — а0) цк = — Xk, (15.1.4.13)
откуда определяются неизвестные коэффициенты в раз-
ложении |a/)=XfcM'fe|a'ky Ясно, что уравнение (15.1.4.13) всегда можно решить, хотя \xk, а следовательно, | а'} могут расходиться на бесконечности, если |Ь> имеет ненулевую составляющую вдоль пространства а'р2 + L — а0 = 0.
Фермионная струна: квантовый анализ
223
При добавлении ?2|х> к |ф> получаем |6) = 0. Это доказывает теорему.
С этого момента мы считаем |fr>=0, или, что то же самое, допускаем наличие неограниченных функций, таких как |х> в Q|X>, так что состояние | Ь} может быть устранено.
Кроме того, мы регуляризуем плохо определенное скалярное произведение решений уравнения й|ф>==0, содержащее (как отмечалось выше) фактор 6(0)-0, возникающий при интегрировании по массе и по т^0, полагая 6(0)-0 равным единице, чтобы восстановить обычную нормировку клейн-гордоновских решений. Как объяснялось в разд. 13.2.7, до сих пор не существует строгого формализма, который позволял бы избежать трудности, связанной со скалярным произведением.
Допущение неограниченных функций \%> в ?2|х> Дает большое преимущество, состоящее в устранении удвоения состояний, не имеющего существенного физического значения.
Если |&>== 0, то физическое условие БРСТ-инвариантности сводится к условиям
Q | а) = 0, (15.1.4.14а)
(а'р2 + L — а0) | а) = 0. (15.1.4.146)
Нулевая духовая мода устранена, и состояние |а> должно принадлежать массовой поверхности.
Уравнение (15.1.4.14а) анализируется так же, как в бозонной модели, — путем использования квартетного механизма Куго и Одзимы. Можно показать, что любое состояние, удовлетворяющее уравнениям (15.1.4.14), имеет вид
1«> = 1^>|0)дух + й| с), (15.1.4.15)
где 10>дух — вакуум духов (для ненулевых мод), а |Р>— физическое состояние ковариантного подхода:
(L0-a0)|P) = O,
| Р) = 0 (гс>0), . (15.1.4.16)
Gr|P) = 0 (г>0).
Фактически состояние |Р> в решении можно считать “поперечным” [51—53]. Это приводит к доказательству теоремы об отсутствии духов, основанному на БРСТ-методах. Рассмотрение “поперечных”, т. е. обобщенных состояний ДДФ в модели фер-мионной струны можно найти в работах, цитируемых в [54] (см. также [18, 54а]).
Соотношения (15.1.4.15), (15.1.4.16) и предыдущая теорема приводят вместе к следующему выводу.
224 Глава 15
Теорема. Любое состояние, удовлетворяющее уравнению ?2|г|)>= 0, может быть записано в виде
I Ф) = I ^*> I 0)дух + QI х)> (15.1.4.17)
где |Р> — не содержащее духов физическое состояние:
(Г0-1/2)|Р> = 0,
L„|P) = 0 (п > 0), (15.1.4.18)
Gr\P)=--0 (г > 0).
Заметим, наконец, что если ограничить асимптотическое поведение | х) на бесконечности, то возникнет удвоение. При этом уравнение (15.1.4.17) заменяется уравнением
I Ф> = I Л) I 0)дух +1 Р2>| 0>дух Т)° + Q I х>. (15.1.4.19)
Кроме того, в случае замкнутой струны имеет место более
сложный вариант удвоения, связанный с нулевой модой Г0— Го-
15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (БРСТ) квантование модели Рамона
15.2.1. Фоковское пространство духов
Главное отличие от модели Невё — Шварца состоит в том, что теперь коммутирующие духи, ассоциированные с фермионными связями Fп, несут целочисленные индексы и содержат нулевую моду. Имеем
q ; = < = «_„, (15.2.1.1)
[Qn, *V] = гбп> (15.2.1.2)
Можно определить фоковское пространство для ненулевых мод qn, лп (пфО):
дп\0) = лп\0) = 0 (п > 0). (15.2.1.3)
Псевдогильбертово пространство коммутирующих духов получается путем образования прямого произведения этого фоков-ского пространства и пространства, соответствующего нулевой моде <7°. Практически это пространство реализуется обычным способом как пространство функций от q°:
fm, (15.2.1.4а)
{f,q)=\dqT{qa)q{g°), (15.2.1.46)
<7° : умножение на q°, (15.2.1.4в)
1 д
Фермионная струна: квантовый анализ 225
15.2.2. БРСТ-оператор
Нормально упорядоченный БРСТ-оператор задается выражением
+ оо
Q = QB+ ? Fnq_n- ? (К + пЯшЯп + ЯЖ^т + п)-
