Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
В этой и в следующих главах мы исследуем фермионную струну Невё, Шварца и Рамона. Суперструна рассматривается в гл. 16.
Модель Невё — Рамона — Шварца является теорией N = 1-супергравитации; она может быть получена двумя различными способами.
1. Можно применить методы супергравитации [45]. Эти методы естественно приводят к рассмотрению расширенных моделей с N = 2 или N = 4 [46] (эти модели здесь рассматриваться не будут, так как их критические размерности d = 2 (N = 2) или d = —2 (N = 4)).
2. С другой стороны, можно сосредоточиться на рассмотрении связей Вирасоро, играющих, как было показано, важную роль в бозонном случае, и попытаться “извлечь из них квадратный корень”, чтобы получить модель со связями, образующими градуированное расширение алгебры Вирасоро (супералгебру Вирасоро).
Здесь применяется второй подход [47] (процедура “извлечения квадратного корня” применительно к d = 4-супергравитации рассмотрена в работе [47а]). Напомним, что, применяя эту
процедуру к условию массовой поверхности р2 + т2 = 0 для свободной релятивистской частицы, мы получаем уравнение Дирака.
14.2. Суперконформная алгебра
14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
Мы показали, что конформная алгебра является первым прямым произведением двух групп одномерных диффеоморфизмов. Структура этого прямого произведения проявляется в виде генераторов Q+(a) и Q~(o):
Q+(a) = PAPA = 2n.(3« + 3(gl), (14.2.1.1)
Q~(o) = SaSa = 2я(Ж — Ж,). (14.2.1.2)
206 Глава 14
Здесь мы положили
РА (сг) = я л/^л (о) + —=¦ Х'А (а), (14.2.1.3)
(ст) = я л/ъГРл (0) - -^==г Х'А (а). (14.2.1.4)
Следовательно,
[РА(°), Рв(о')] = 2пцАВд'(о, ст'), (14.2.1.5а)
[РА(о), SB(o')] = 0, (14.2.1.56)
[5л(а), SB(cx/)] =— 2ят1лв6' (а, ст'). (14.2.1.5в)
(Функция РА(о), определенная здесь, отличается от функции Рл(а) в разд. 13.4.2 простым численным множителем.)
Введем теперь новые вещественные фермионные (т. е. антикоммутирующие) переменные (о) и новые фермионные ге-нераторы-связи ??,(ст) (г = 1, 2 — спинорный индекс в двух измерениях) так, чтобы при антикоммутации Р’г(ст) давали га-
мильтоновы связи Q±(ct).
Проще всего выбрать ‘)
[rf(a), rf (с/)] —— 4я/т)ЛВ6,-у6 (а, а) (14.2.1.6)
и определить
&>1 (ст) = (а) РА (сг), (14.2.1.7а)
9>2 (ст) = Г? (ст) (ст). (14.2.1.76)
Непосредственно вычисление дает
(ст), 9>,(а')] = -4т(РАРА+^ТА ^)б(ст, ст'), (14.2.1.8а)
[9>2(о), 9’2(v')} = -4m(sASA-^TA^-)b{e, ст'), (14.2.1.86)
1?1(а), У2(</)] = 0. (14.2.1.8в)
Правая часть системы (14.2.1.8) не принимает желаемый вид, если не переопределить Q+(ct) и Q~(a) в виде
Q+(o)=:PAPA + ^rf (14.2.1.9а)
д-(ст) = 5л5А-уГ2А^-. (14.2.1.96)
‘) Скобки Пуассона (14.2.1.6) симметричны, как и должно быть для фер-мионных переменных. Они мнимы, так как переменные Г ^ (а) вещественны.
Фермионная струна: классический анализ
207
Генераторы Q+(ct) и Q~(o) принимают корректный вид за счет фермионных переменных. Модифицированная форма выражений (14.2.1.9) выглядит физически оправданной, если вспомнить, что Q+(a) и Q~(a) являются изотропными компонентами Т++ и Т— тензора энергии-импульса. Поэтому естественно появление вклада фермионных степеней свободы в 7'“Р.
Реальный способ установить правильность выражений
(14.2.1.9) состоит в проверке того, что Q-(cr) и ^,(ст) образуют замкнутую (градуированную) алгебру. (Символы Q±(o) теперь будут обозначать выражения (14.2.1.9).) Легко видеть, что это требование выполнено, так как имеет место не только соотношение
[^(ст), 9>х (o')] = - 4ntQ+ (ст) б (а, ст') (14.2.1.10а)
(соотношение (14.2.1.8а)), но также соотношения
[Q+(a), 9>1 (ст')| = 2я (29>1 (ст) + ЗРх (о')) б' (ст, ст'), (14.2.1.106)
[Q+ (ст), Q+ (стО] = 4я (Q+ (сг) + Q+ (</)) b' (ст, ст')- (14.2.1.10в)
Следовательно, генераторы-связи 9>\ (о) и Q+(o) образуют систему первого рода. Аналогично оказывается, что ^i(ct) и Q+(ct) имеют нулевые скобки с 9*2(0) и Q~(o) и
[9>2(а), 9>2 (ст')] = — 4raQ“ (ст) б (ст, ст'), (14.2.1.11а)
[Q (ст), ^2(а')] = -2я(2^2(ст)+^2(ст'))б'(ст, о'), (14.2.1.116)
[Q-(ct), Q~(a')] = -4n(Q-(a) + Q"(CT/))6'((r, ст'). (14.2.1.11в)
