Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что скобки [Q±(ct), Q±(ct')] остаются без изменения.
Из этого анализа следует, что можно согласованно наложить условия
Q± (ст) = 0 = (ст). (14.2.1.12)
Соотношения (14.2.1.10) и (14.2.1.11) определяют (7V=1)-градуированное расширение конформной алгебры, известное также как суперконформная алгебра. Генераторы-связи ^;(ст) и Q±(o) и супералгебра (14.2.1.10) и (14.2.1.11) полностью характеризуют фермионную модель струны.
Метод квадратного корня весьма эффективен при получении гамильтоновых связей, характеризующих фермионную модель струны (в описанном выше “непрерывном” представлении они впервые были получены Ивасаки и Киккавой [48]).
Величины Q±(o) и ??,(ст) можно было бы получить методами супер гравитации следующим образом. Лагранжиан N—1-супергравитации, связанный с суперсимметричным материальным
208
Глава 14
мультиплетом (ХА, Гл), задается выражением [45]
* = —ШГ - е«аТ*р“даГ* -
- 2е“еегрорУТл (д^Хв + у !%)} , (14.2.1.13)
где ра— двумерные у-матрицы, е“ — компоненты двумерной тетрады, е — детерминант е“ (= V—§)> а Та — суперсимметрич-ный партнер спина 3/2 для ga$, d материальных мультпплетов содержат поля спина 0 и спина 1/2 (в двух измерениях).
Действие (14.2.1.13) обладает многими симметриями:
1) локальной суперсимметрией и инвариантностью (относительно замены двумерных координат);
2) локальной вейлевской и “супервейлевской” инвариантностью ')
хл-*хл, гл-*л~1/2гл,
еаа-+Ае“, Фа-^Л'/Чо + РаФ; (14-2.1.14)
3) локальными двумерными лоренцевыми вращениями тетрады;
4) глобальной пуанкаре-инвариантностью (при этом ГА — d-вектор); действие не является глобально суперсимметричным (в d измерениях).
Вследствие калибровочной инвариантности и отсутствия кинетических членов для “гравитона” и “гравитино” преобразование Лежандра сингулярно. Для получения гамильтониана необходимо применять метод Дирака. Эта процедура аналогична той, которая использовалась в случае бозонной струны.
После использования подходящего упрощения формализма (и подхода работы [49]) гамильтониан принимает вид
Н = J do{N26 + + М9’), (14.2.1.15)
где связи Ж = 0, Ж\=0 и ^, = 0 генерируют соответственно репараметризации (Ж и Ж\) и локальные преобразования суперсимметрии (^,). В выражении (14.2.1.15) локальная лорен-цева калибровка фиксирована требованием ортогональности одного из тетрадных направлений линиям т = const.
Остаются канонические переменные Хл(а), 5м (а) и двумерные спиноры ГА (ст) = (rf (а)), удовлетворяющие соотношениям
') Вследствие инвариантности (14.2.1.14) связи Гар = 0 и /а = 0 (нулевой суиерток) не являются независимыми. Оказывается, чтоГ^ + l/2/ai|)“ = = 0 (в соответствии с уравнениями движения для Гд) и /ар“ = 0.
Фермионная струна: классический анализ
209
(14.2.1.6) ‘). Связи Ж(о) и Ж\(о) следующим образом соотносятся с (^(ст):
M = ^{Q+ + Q-), (14.2.1.16a)
^i=-^r(Q+-Q'), (14.2.1.166)
а фермионная связь обозначает Наконец, фермион-
ный лагранжев множитель М равен г|э0.
Этим завершается все, что следует сказать по поводу вывода гамильтониана из лагранжиана (14.2.1.13). В самом деле, мы уже получали описанный выше гамильтониан путем применения метода извлечения квадратного корня, непосредственно дающего канонические генераторы в терминах только динамических переменных. Подчеркнем также, что нет необходимости фиксировать локальные суперсимметрии или репараметризации, чтобы получить выражения (14.2.1.7) и (14.2.1.9) для генераторов-связей Ж, Ж\ и Я’и
Упражнения
1. Получите связи Ж, Ж\ и 9*1 из лагранжиана.
2. Сравните спинорные члены в Ж и Ж\ с компонентами тензора энергии-импульса Т^^Г).
3. Вычислите ^Г^(ст), ^ йо'Жх (ст') N1 (ст')] и покажите, что
Г? (ст) действительно имеет вес 1/2.
4. Вычислите кинетический член в каноническом действии, воспроизводящем скобки (14.2.1.6).
14.2.2. Граничные условия
Мы примем, что бозонные переменные ХА(ст), ^a(g), N (а) к JV'(o) удовлетворяют тем же граничным условиям, что и ранее. Мы хотим определить поведение rf (ст) на концах струны.
14.2.2а. Открытая струна
Граничные условия для rf (ст) должны быть такими, чтобы
S71 Г 71 р Я _
ЫЖйо, ^N^ida и do были хорошо
определены как генераторы, т. е. не порождали бы при вариациях “поверхностных членов” при ст = 0, я.
*) Отметим, что в каноническом формализме Гл(а) входит с множителем «!Г(Гка„ = ^!(4Г1гр)-
210
Глава 14
f я
Вычислим Ь^ЫЖйа. Получается граничный
член
ЛГ(Г,л&Г?-Г2Л6Г?)|о. (14.2.2.1)
Чтобы уничтожить этот член, можно было бы положить Г;Л(о) = 0 на концах. Но это условие является слишком сильным. Действительно, можно показать, что для того, чтобы поддержать (во времени) условия Гм(в конечных точках)= О, должны обращаться в нуль на концах все производные от Гм (использование уравнений движения для Г). Следовательно, нужно сделать что-то другое.
