Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Фермионная струна: классический анализ
213
14.3. Фурье-моды (открытая струна)
14.3.1. Фурье-разложение полей
Бозонные поля удовлетворяют тем же граничным условиям, что и в бозонной модели. Следовательно, фурье-разложения для них остаются теми же.
Фурье-разложение фермионного поля Г-4 (о) зависит от того, является ли Г4 (а) периодичным или антипериодичным.
14.3.1а. Модель Рамона
Функция Г-4 (а) периодична, и мы принимаем, что
ТА (ст) = X Ym exp — imo, m = 0,±1, ±2, ... . (14.3.1.1)
m
Поле Г-4 (ст) вещественно, поэтому
Г?П* = Г1Ш. (14.3.1.2)
Отсюда следует, что нулевая мода является самосопряженной. Кроме того, скобки Пуассона имеют вид
[Г1 Г^] = -2ir\AB6m. -,п'. (14.3.1.3)
14.3.16. Модель Невё — Шварца
Функция Г-4 (о) теперь антипериодична, поэтому фурье-разложение содержит только полуцелые моды:
Гл (ст) = V2 2 bA exp — iso, s = ± 1/2, ± 3/2, .. . . (14.3.1.4)
S
Оно не включает нулевую моду.
Легко получить соотношения для скобок Пуассона
[ЬА, Ьв] = - iV\ _s, (14.3.1.5)
bT = b-s. (14.3.1.6)
14.3.2. Супергенераторы Вирасоро Определим
-t-л
= i S doelnaQ+{o), (14.3.2.1)
—n
+ Л
Gs =-----X-=- [ doe^&io) (Невё - Шварц), (14.3.2.2)
4n V 2 J
214 Глава 14
+я
F,i = —^ doeina9> (а) (Рамон). (14.3.2.3)
— Я
В терминах фурье-мод супергенераторы Вирасоро Ln, Gr и Fn задаются выражениями
ге —1/2
Ln = 1б°зояы + — V* (2s -(- п) bsAbAn+s + -ГГ V Sbn-sbAs (п > 0),
s>1/2 ^ (14.3.2.4а)
= С (14.3.2.46)
10 = ^оОЗОНЫ+ ? sbfbAs, (14.3.2.4b)
s > 0
Gr = л/ЫЬ?рА - г Е л/пЬ^паАп -
0 <ге<г
— г Е + г ? л/nbn+raAn (г > 0), (14.3.2.5а)
гс>г гс>0
G-r = Gr (14.3.2.56)
для модели Невё — Шварца и выражениями
L„ = L6„озоны + i^(2H«) Г*ЛГлп+* +
&>0
+ Т Е ^_йГдй+^пГоГм (п > 0), (14.3.2.6а)
k<n
L_n = L\, (14.3.2.66)
L0 = Lo°30HbI + y ? 6ПлГль (14.3.2.6b)
k>0
Fn = A=\VMrAPA-i ? л/Щ-,РАк-
v L о<а<л
— i ^ -y/kTk-naAk + t E V^abrfc+nl («>0), (14.3.2.7a)
k>n k>0 J
F^-K. (14.3.2.76)
» =* -Ж (V2?I>„ ~ 1 Z Va>,„ + t J) (14.3.2.7a)
У \ k>0 ft>0 /
¦F,
для модели Рамона.
Супергенераторы Вирасоро замыкаются классически в соответствии со следующей (градуированной) алгеброй скобок Пу-
Фермионная струна: классический анализ
215
ассона:
[Gr, Gs)=-2iLr+s, (14.3.2.8а)
[Lm, Gr] = i(r — m/2) Gm+r, (14.3.2.86)
[Fm, Fn\ = — 2iLm+„, (14.3.2.8b)
[Lm, Fn] — i(n — m/2) Fm+n, (14.3.2.8r)
[^m, i Lm+n. (14.3.2.8д)
Напомним, что во всех приведенных выше уравнениях индексы г и s принимают полуцелые значения, а индексы т, п п k — целые значения.
14.3.3. Генераторы Пуанкаре
В терминах фурье-мод генераторы Пуанкаре принимают вид
РА = рА, (14.3.3.1)
М*° =\{РАХ0В - рвХА) + 4 Е г' (« - а>п) + ^ЛВ.
п > О
(14.3.3.2а)
где
/ЛВ = Т Е *Ь° ~ Ь° *Ь^ (Невё ~ ШваР«)> (14.3.3.26)
5 > О
ИЛИ
!лв = 4 Е + Т Г° Г°* (Рамон)- (14.3.3.2b)
m> О
Заметим, что последний член в выражении (14.3.3.2в) антисимметричен поЛиВ, как и должно быть, поскольку ==—Г^Го1.
14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
Замкнутая струна снова по существу является «прямым произведением» двух открытых струн. В этом случае определяются два набора «связей для открытой струны», которые^ суть L„, Ln, Fm, Fm (если rf (or) и Га (а) периодичны), Ln, Ln, Gr, Fm (если rf (а) периодичны, а Г2 (a) антипериодичны) или L„, L„, Gr, Gr (если как rf (a), так и Г2 (a) антипериодичны).
