Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Х+=а'р+т, &+=р+/2я (12.5.7.1)
эквивалентны условиям
С = (12.5.7.2)
и уже не фиксируют полностью калибровку. Имеется одна остаточная калибровочная симметрия (сдвиги нулевой моды вдоль а), и этой симметрии соответствует одно условие связи — нулевая мода генератора ст-репараметризаций Ж\ должна быть равна нулю.
Таким образом, оказывается, что “независимые” переменные plt XI, и~, р+ и с1п, с1п должны подчиняться условию
/? — 1о=0 (12.5.7.3)
(= ^ da) . Эти переменные, как и прежде, удовлетворяют условиям
де>Р/]=6', [р+, «0-] = 1, (12.5.7.4а)
К- CV'\ = - i6ii6nn'= [ё?, бп1'\ (12.5.7.46)
(остальные скобки равны нулю).
Величины р~ и с~, с~ по-прежнему задаются выражениями
Струна Намбу — Гото: классический анализ 151
Генераторы Пуанкаре записываются в виде
р‘ = р\ Р+ = р+, (12.5.7.7)
М+~ = \и~р+, Mi+ = -~p+Xl (12.5.7.8а)
а р
2
м“ = У {р'й - р!х10) + у ? i [спс'п + c^cL - (t *-*/)],(12.5.7.86)
п> О
1 / 4Г + ЦГ
М‘~ = — I d'u“-------------------------— ДГ'
Ж 2 0 а'р + 0
^ c^L]!+ LtT„ci ^ c*‘'4r + Ltrnc^
- у -^=_ ~пп - У -пп-. (12.5.7.8b)
*—> ¦у2а.'пр у2о'пр
п> О v г п> О
Они образуют алгебру Пуанкаре по отношению к скобкам Дирака. Нетривиальный момент заключается в том, что условие связи остаточной симметрии возникает в коммутаторе [М‘_, М>-\, точное выражение для которого имеет вид
[М‘~, АГ'-] = 2ц/ (гр+)2 5] [с'с;/ - - с'с;/ + с?с;г] (??Г -
- ZJr)~0. (12.5.7.9)
Упражнения
1. Покажите, что связь (12.5.7.3) возникает как условие разрешимости связи Ж\(о) — 0 по отношению к периодической функции Х~(сг) (нулевая мода в Х'~(в) отсутствует).
2. Проверьте выражение для коммутатора (12.5.7.9).
Глава 13
Квантование струны Намбу—Гото
13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
13.1.1. Введение
Быть может, наиболее впечатляющей чертой моделей квантовых струн является предсказание критической размерности пространства-времени; при другой размерности квантовая теория сталкивается с трудностями. Для бозонной модели эта размерность равна 26.
Существуют по крайней мере три способа определения критической размерности. Первый основан на формулировке теории в калибровке светового конуса; оказывается, что вследствие квантовой некоммутативности операторов квантовые генераторы группы Пуанкаре не образуют замкнутой алгебры Пуанкаре при йф 26 [17]. Второй подход, называемый “ковариантным”, не использует калибровочных условий и учитывает все (истинные и калибровочные) степени свободы. Можно показать, что состояния с отрицательной нормой исключаются из физического подпространства только при d^26 [18]. Наконец, последний подход, вероятно наиболее глубокий, но также и наименее понятный, основывается на симметрии Бекки — Рюэ — Стора — Тютина. Как выяснилось, эта симметрия может быть реализована квантовомеханически только при d = 26 [19].
Все эти методы существенно используют свойство алгебры связей Вирасоро приобретать центральный заряд при квантовании (центральное расширение известно как “алгебра Вирасо-ро”). Нашей первой задачей является, следовательно, вычисление в рамках ковариантного формализма этого центрального заряда, зависящего от размерности пространства-времени.
13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
Для построения центрального заряда следует уточнить, в каком (псевдо) гильбертовом пространстве и как должны быть определены основные операторы теории. Оказывается, что центральное расширение в действительности зависит от выбора конкретного представления основных коммутационных соотношений —
Квантование струны Намбу — Гото
153
обстоятельство, по всей вероятности, не достаточно подробно исследованное в литературе.
Поскольку связи квадратичны, а величина L0 принадлежит к осцилляторному типу, представляется естественным выбрать фоковское представление. Поэтому мы постулируем существование вакуумного состояния |0, 0>, которое обращается в нуль при действии всех операторов уничтожения а? (оператор включается для сохранения лорендевой инвариантности) и обладает нулевым d-импульсом:
ап\ 0, 0) = 0, РА | 0, 0) = 0. (13.1.2.1)
Остальные состояния генерируются действием операторов рождения и exp(7?-Z0). Последний оператор порождает состояния с ненулевым импульсом в соответствии с выражениями
