Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Первый вопрос. Так как в уравнениях (13.1.4.3) мы наложили только половину связей, неясно, использовали ли мы полностью калибровочную инвариантность квантовой теории is не сохранили ли слишком много степеней свободы? Ответ будет в общем Wfftiae отрицательным. Оказывается, однако, что критическое значение d = 26, ограничивающее сверху значения размерности пространства-времени, при которых решения уравнений (13.1.4.3) обладают неотрицательной нормой, также приводит к существованию в физическом подпространстве остаточной калибровочной инвариантности в смысле, который будет конкретизирован ниже. Эта калибровочная инвариантность устраняет дополнительные степени свободы, так что и классическая, и квантовая струны обладают одинаковым числом степеней свободы. При d <С 26 это не верно, и не ясно, является ли теория, основанная на уравнении (13.1.4.3), хотя и согласованная, действительно квантовым вариантом рассмотренной выше теоэии классической струны (существенные черты теряются).
Второй вопрос. Не следует ли несколько ослабить уравнение Уилера — Де Витта в квантовой гравитации, что было бы необходимо, если бы в алгебре связей появлялся (с- или ^-числовой) “центральный заряд”? Ответ положительный, но пока работ в этом направлении не проведено.
Третий вопрос. Не следует ли попытаться использовать другое представление для операторов струны, чтобы избежать появления центрального заряда?
Весьма вероятно, что такое представление вполне возможно построить, и полученная в этом случае квантовая теория была бы весьма отличной от той, которая здесь обсуждается. Мо~ло бы оказаться, что эта еще не построенная теория весьма интересна сама по себе (например вследствие появления в ней бесконечномерных представлений алгебры Лоренца). Более того, поскольку эта теория не основывалась бы на использовании осцилляторных переменных, она могла бы оказаться более легко обобщаемой на объекты с большим числом измерений, например, на мембраны.
Однако, насколько известно автору, эта проблема до сих пор не рассматривалась. Соответственно остающаяся часть этой книги будет посвящена общепринятой квантовой теории,, которая уходит своими корнями в дуальные модели.
Упражнение. Рассмотрим замкнутую струну, для которой, разумеется, справедливы все изложенные выше соображения (она
Квантование струны Намбу — Гото 159
имеет две алгебры Вирасоро с одинаковыми центральными зарядами).
а. Уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае задается в в гаде
6S 6S “f~ Х'А (<*) Х'л (°) ~ О, (I)
6ХЛ(0) 6Х4(а)
_65
6А"4 (а)
Х'л(<т)т?ггг = 0- (п)
Око является классическим аналогом уравнения Уилера — Де Витта.
Вид уравнения (I) наводит на мысль искать решение, для которого вариационная производная 8S/8X1 (а) линейна по Х'л-{а). Таким образом, положим
65 kABX'B(a), (III)
6ХА(ст)
где постоянный тензор клв удовлетворяет соотношению
ekAD — — Чво- (IV)
Покажите, что из уравнения (II) следует, что тензор клв антисимметричен, a S определяется выражением
2 71
5 = 4 S kABXA(o)X'B(o)da, (V)
О
клв — кв. <• (VI)
Покажите также, что уравнения (IV) и (VI) имеют решения в любом четномерном пространстве-времени. Является ли kAB вещественным?
б. Постройте генераторы Пуанкаре для решений Хл(о) и 3>А (о), определяемых посредством S. Обсудите формальное классическое решение, порождаемое в четырех измерениях выражением
S = J J0 (а) X1' (0) da + i J X2 (0) X3» da,
X° (0, x = 0) = 0, X1 (0, т = 0) = a cos 0,
X2 (a, x = 0) = a sin 0, X3 (a, x = 0) = 0.
в. Рассмотрите затем волновой функционал 1|)[ХЛ(0)] = = exp iS [X-4 (0)]. Докажите, что он удовлетворяет квантовым
160
Глава 13
уравнениям Уилера — Де Витта1)
(VIII)
(VII)
(независимо от того, какое регуляризованное значение приписывается б'(0)). Существование решений уравнений (VII) и (VIII) свидетельствует об отсутствии центрального заряда в том представлении, в котором поле Х4(ст) является диагональным; при этом в (VIII) стоит &А справа от Х'А (если только можно придать смысл такому представлению).
г. Скалярное произведение. Представляется естественным формально определить внутреннее произведение в пространстве tf[XA(o)] как
понент). Это скалярное произведение положительно определено и формально лоренц-инвариантно (таким образом, отрицательные нормы связаны с лоренц-инвариантным представлением Фока). Решения уравнений L«|if>=0, соответствующие физическим состояниям, по-видимому, должны быть ненормируемы-ми, поскольку в выражении (IX) производится интегрирование также по чисто калибровочным степеням свободы и величина if[X4((y)] действительно содержит осциллирующий множитель и является неограниченной.
