Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
нужно выпустить световой луч с одного из концов струны, чтобы он достиг заданного события Р, и 2) 0' — момент времени, когда световой сигнал, испущенный из Р, достигает того же конца струны (рис. 12.3) [15].
Система координат (0,0') определена глобально и, очевидно. является изотропной. Эти координаты задают регулярную параметризацию эволюции струны в том смысле, что векторы дХА/дО и дХл/дд' являются линейно независимыми всюду, за исключением граничных точек, где
дХА/дВ = дХА/дВ'. (12.5.1.3)
В последнем условии отражено известное поведение световых лучей в окрестности границ. Световые лучи приближаются к граничным точкам по единственному изотропному направлению,
1) Предположение несингулярности исключает изменения топологий в ло-
рснцевом случае и соответствует свободным струнам.
136
Глава 12
Рис 12.3. Изотропные координаты (0, 0') произвольной точки на мировой
поверхности струны.
касательному к мировой поверхности в этих точках. Условие
(12.5.1.3) эквивалентно соотношению дХА /до = 0.
Ясно, что для более сложных причинных структур, содержащих горизонты событий (в случае черных дыр), определить 0 и 0' глобально невозможно. Такие структуры естественно возникают в двумерной гравитации [16], но влияние этих структур на теорию свободной струны в плоском пространстве-времени, если оно существует, до сих пор не исследовано. Следовательно, мы не будем их здесь рассматривать.
В координатах (0, 0') метрика записывается в виде
ds2= — Я(0, W)Mdff, (12.5.1.4)
где ^(0,0')—некоторая регулярная функция. Знак минус обусловлен тем фактом, что ds2 должно быть отрицательным для положительных dQ и dQ', так как событие (0 + dQ, 0' + dQ') находится в причинном будущем по отношению к событию
(0,9').
Область изменений переменной 0 есть [—оо, +°°]. тогда как 0' изменяется от 0 до 0 + 2/(0). Соотношение 0'= 0 задает один конец струны, а второй конец струны определяется соотношением 0' = 0 + 2/(0), где 2/(0) =т^= 0 — полное время, которое затрачивает световой луч, чтобы, отправившись из одного конца струны в момент времени 0, достигнуть другого конца и вернуться обратно.
При 0 = 0', а также 0' = 0 + 2/(0) функция F равна нулю в соответствии с тем, что границы мировой поверхности являются изотропными. В этих точках метрика (12.5.1.4) пол-
Струна Намбу — Гото: классический анализ
137
ностью вырождена, но это частично обусловлено выбором координат.
После того как мы представили метрику в виде (12.5.1.4), оказывается совсем нетрудно ввести конформные координаты (т, сг). Они определяются просто как полусумма и полураз-ность:
T = i-(0' + 0), (12.5.1.5а)
а = -1(0/-0). (12.5.1.56)
С учетом этих определений соотношение (12.5.1.3) означает, что дХА/до = 0 в граничных точках, как мы упоминали.
Менее очевидно, что интервал а, а именно [0,/(0)], является постоянным. Для произвольной параметризации 0 мировой линии о = 0 это неверно, но этого можно добиться подходящей заменой 0->-/(0). Ниже будет доказано, что время Минковского t обладает свойством /(f) = const в том случае, если удовлетворены уравнения движения струны.
Удобство конформной калибровки состоит в том, что уравнения движения струны становятся линейными, если выполнено условие (12.5.1.1). В явном виде имеем
г]^длд11ХА ^ 0, (12.5.1.6)
тогда как условия связи Та$ = 0 принимают вид
Р + Х'2 = 0, х-Х' = 0 (12.5.1.7)
(Х* = г\АВХАХв и т. д.).
Упражнения
1. Покажите, что конформная калибровка эквивалентна условиям Ar = 1, N1 = 0.
2. Рассмотрите конформную калибровку для случая замкнутых струн.
За. Рассмотрите двумерную поверхность (в трехмерном пространстве-времени), заданную уравнениями
Х° = т,
X1==cosa + T, 0<Ia^2jt,
X2 = sin a.
Найдите индуцированную метрику на поверхности.
б. Покажите, что световому лучу, испущенному из точки <х = 0, потребуется бесконечное время, чтобы достигнуть точки а = л. Может ли световой луч двигаться в направлении уменьшения а?
138
Глава 12
в. Исследуйте возможность введения конформной системы координат на всей мировой поверхности.
г. Рассмотрите эволюцию открытой струны, которая описывается приведенными выше уравнениями для 0 ^ а ^ я. Убедитесь, что концы струны движутся со скоростью света под прямым углом к струне, но условие (12.1.7.86) не выполняется. Нарисуйте линии, ортогональные линиям т = const.
12.5.2. Калибровка светового конуса
Конформная калибровка не полностью фиксирует систему координат. Как мы уже отмечали, остаточной калибровочной
группой является конформная группа. Чтобы окончательно
фиксировать симметрию, требуется наложить дополнительные условия. Например, можно дать определение “временной координате” т и тем самым фиксировать ее (так, чтобы это не противоречило условию конформной калибровки).
