Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
< оо), т. е. струна коллапсировала в свое основное состояние и движется со скоростью света в “последнем” пространственном направлении. Тогда функция /+(0) оказывается постоянной
и, следовательно, необратимой. Калибровка светового конуса не достижима при таком движении.
2. р+ Ф 0. В этом случае ситуация гораздо лучше. В самом деле, предположим, что /+(0i) == /+(0г) и 01 < 02. Гиперплоскость Х+ = const является изотропной гиперплоскостью, поэтому она имеет вырожденную метрику и любое направление на ней либо пространственноподобное, либо изотропное:
^ Индуцированная „а ^eoost = I ¦ (12.5.3.1 1)
Изотропные направления заданы условием Х‘= const.
Если траектория конца струны дважды пересекает заданную гиперплоскость Х+= const, точки пересечения должны иметь одинаковые значения Х‘, а именно
Х1(0,) = Хг (02). (12.5.3.12)
Это единственный случай, когда событие 02 находится в будущем по отношению к событию 0ь Кроме того, должны иметь место следующие соотношения:
Xl(Q) = Xi(Ql) )
^(0) = ^(e1))ei<e<02 (125-злз)
для любых 0 между 01 и 02, так как это единственная причинная кривая, которая может соединять два заданных события.
Но тогда мы получаем, что индуцированная метрика на мировой поверхности
ds2 |струна = [- Х'+ (9) Х'~ (00 - Г+ (0') Х'~ (0) +
+ Хпф)Х[ф')\Ж№’ (12.5.3.14)
является вырожденной для 01 0, 0' ^ 02. Это находится в
противоречии с нашим “предположением конформной калибровки”, которое заключается в том, что координаты 0, 0'
144
Глава 12
задают регулярную параметризацию струны1). Следовательно 0j = 02 и f+(0) — обратимая функция.
В дополнение к этому формула (12.5.3.11) позволяет видеть, что пересечения струнной траектории с гиперплоскостью Х+ = = const являются пространственноподобными или изотропными, следовательно, Х+ — временная координата. Поэтому мы заключаем, что в случае р+ Ф 0 калибровка светового конуса является хорошей калибровкой для поверхностей, удовлетворяющих уравнениям движения струны, с тривиальной причинной структурой.
Может возникнуть вопрос, нужно ли беспокоиться о рассмотренных выше трудностях, которые возникают при р+ = 0. Так как это имеет отношение только к точечноподобному движению струны в основном состоянии, некоторые пояснения могут быть получены из рассмотрения свободной безмассовой релятивистской частицы в калибровке светового конуса. Легко видеть, что в квантовой теории не возникает серьезных трудностей. По-видимому, это указывает на то, что трудности с р+ = 0 не должны нас беспокоить. С другой стороны, это согласуется с тем фактом, что квантование струны в калибровке светового конуса дает результаты, совпадающие с аналогичными результатами, полученными другими методами, которые не требуют фиксации калибровки.
Упражнения
1а. Опишите классическое основное состояние струны в ос-цилляторных переменных.
б. Рассмотрите состояния первого возбужденного уровня и покажите, используя классические условия Вирасоро, что р2^0. Может ли быть р2 = 0? Что можно сказать о “чисто калибровочной” природе этих мод?
2. Используя соотношение (12.5.3.7а), покажите, что время Минковского, необходимое для того, чтобы световой луч, вышедший из одного конца струны, достиг другого конца и вернулся обратно, не зависит от времени.
3. Параметризация 0, используемая в соотношениях (12.5.3.7) не является единственной. Покажите, что можно наложить условие 1'лЩрА = рАрА.
4. Рассмотрите свободную безмассовую релятивистскую частицу.
а. Напишите редуцированное действие в калибровке
т = т.Х+/р+.
4) Точки Хд(0, 0'), 01 ^ 0, 0' ^ 02 в действительности все лежат на одной изотропной кривой.
Струна Намбу — Гото: классический анализ
145
б. Покажите, что в качестве независимых степеней свободы можно взять Х\ pi, и~ = Х~ — р~х/т и р+. Покажите, что эти переменные являются канонически сопряженными.
в. Выведите гамильтониан в калибровке светового конуса.
г. Решите уравнение Шредингера. Докажите, что существуют такие состояния, которые движутся обратно во времени Минковского (т. е. для которых р°<0). Существуют ли такие состояния в более привычной калибровке т = Х°?
д. Выпишите генераторы алгебры Пуанкаре. Проведите для них упорядочение, чтобы они стали формально самосопряженными. Покажите, что даже на квантовом уровне они образуют замкнутую алгебру.
12,5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
Применим теперь технику канонической фиксации калибровки в гамильтоновых системах со связями [13]. На первом этапе выделим независимые степени свободы, в терминах которых можно выразить “зависимые” переменные путем разрешения условий связи. С самого начала мы будем использовать осцил-ляторные координаты аА.
Калибровочные условия (12.5.2.9) и (12.5.2.10) эквивалентны следующим условиям ]):
