Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
После того как т фиксировано, остаются только конформные преобразования вида
т' = т, (12.5.2.1)
а' = ±о + Ь, (12.5.2.2)
где Ь — произвольная постоянная. Если, кроме того, потребовать, чтобы конформные преобразования не нарушали пространственной ориентации, то остаются только преобразования
(12.5.2.2) со знаком плюс.
В случае открытой струны новая координата о' также должна принимать значения от 0 до я (преобразования должны быть тождественны в граничных точках). Следовательно, остаточные преобразования сводятся к тождественным.
В случае замкнутой струны можно лишь потребовать, чтобы не нарушалась периодичность по а' с периодом 2л. Ясно, что преобразования (12.5.2.2) удовлетворяют этому требованию независимо от того, какое значение принимает постоянная Ъ. Следовательно, наложение конформной калибровки и фиксация т в случае замкнутых струн не фиксирует полностью систему координат. Остается возможность преобразования нуле-
вой моды (постоянной составляющей) пространственной координаты:
т' = т, (12.5.2.3)
а' = а + Ь. (12.5.2.4)
В калибровке светового конуса т выбирается пропорциональным Х+:
т = р*+, (12.5.2.5)
Струна Намбу — Гото: классический анализ
139
где
X* = —т= (Х° ± Xd~') V2
(12.5.2.6)
являются изотропными координатами в пространстве Минков-ского. Причина, по которой условие (12.5.2.5) является столь удобным, заключается в следующем: в координатах светового конуса метрика плоского пространства имеет вид
dshHm = _2dX+ dX~ + Z {dXlf, i = 1, ..., d - 2, (12.5.2.7)
и является линейной no dX+.
Условия (12.5.1.1) и (12.5.2.5) определяют калибровку светового конуса.
Чтобы установить, является ли условие (12.5.2.5) допустимой параметризацией, необходимо проверить следующие утверждения: 1) Х+ является временной координатой, совместной с конформной калибровкой, и 2) гиперплоскости Х+ = const пересекают мировую поверхность струны по пространственноподобным линиям. Доказательства этих утверждений приведены в следующем разделе, где также показано, что для траекторий, удовлетворяющих классическим уравнениям движения, не возникает никаких сложностей.
Найдем сначала постоянную |3 в уравнении (12.5.2.5). Уравнения движения для X дают
Так как конформная калибровка эквивалентна соотношениям N— 1 и ДГ1 = 0, условие (12.5.2.5) вместе с уравнением (12.5.2.8а) означает, что !?+(а) в разложении не имеет ненулевых мод:
Х+ =2na'N&+ + N'(X+)', = (NX-')' +
(12.5.2.8а) (12.5.2.86)
или
^+((т) = р+/я (открытая струна) (12.5.2.9а)
ZP+(o) = p+/2n (замкнутая струна). (12.5.2.96)
Из соотношения (12.5.2.8а) находим (3:
или
т = Х+/2р+а' (открытая струна) (12.5.2.10а)
т = Х+/р+а' (замкнутая струна). (12.5.2.106)
Если мы, наоборот, предполагаем, что соотношения (12.5.2.9) и (12.5.2.10) выполнены, то из уравнения (12.5.2.8а)
140
Глава 12
получаем, что N = 1 (^*+ = 0, как легко получить, интегрируя уравнение (12.5.2.86) по ст). Кроме того, из уравнения (12.5.2.86) находим, что Nl/ = 0 (при условии, что р+ф 0), поэтому N1 является функцией только т. В случае открытой струны эта функция тождественно равна нулю вследствие граничных условий. Система координат должна быть конформной, и соотношения (12.5.2.9) и (12.5.2.10) можно принять в качестве определения калибровки светового конуса.
В случае замкнутой струны ЛП(т) не определено, поэтому условия (12.5.2.9) и (12.5.2.10) оказываются более слабыми, чем исходные условия калибровки светового конуса. Тем не менее из-за того, что эти условия оказываются более удобными — они выражаются непосредственно в терминах канонических переменных,— мы будем также использовать их в качестве координатных условий для замкнутой струны и будем называть их далее условиями калибровки светового конуса. Важно также понять, что условия (12.5.2.9) и (12.5.2.10) все еще допускают произвольные, зависящие от времени координатные преобразования вида
т' = т, а' = а + / (т) (12.5.2.11)
(зависящие от времени сдвиги нулевой моды). Эта остаточная калибровочная инвариантность играет важную роль в квантовой теории. Соответствующее условие связи означает, что первое возбужденное состояние в спектре имеет спин 2.
Упражнение
а. Пусть (т, о)—конформные (“изотермические”) координаты. Покажите, что уравнение дН'/дх2 — д2х'/до2 = 0 является необходимым условием того, чтобы т'(т, о) была временной координатой некоторой новой конформной системы координат.
б. Зная координату т'(т, ст), удовлетворяющую условию (а), покажите геометрически, как построить новую конформную систему координат (%', а').
