Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бринк Л. -> "Принципы теории струн" -> 64

Принципы теории струн - Бринк Л.

Бринк Л., Энно М. Принципы теории струн — М.: Мир, 1991. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriistrun1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 116 >> Следующая


Для физических состояний выражение (IX) должно быть модифицировано путем введения калибровочного условия (желательно лоренц-инвариантным способом). Но этого совершенно недостаточно для того, чтобы сделать функционал if [X4 (ст) ] == = ехр /5 [ХА (ст) ] нормируемым, как можно видеть из закона

преобразования г|)*лв [ХА (ст)] = ехр у г jj kABXA (ст) Х'в (ст) da при

действии группы Пуанкаре. Покажите, что

\Ф, х) = J ®ХЛ (ст) if* (ст)] х [Хл (ст)]

(IX)

в терминах фурье-ком-

U(a,A)% [*л(а)] = 1у [**(*)],

ВАВ АВ

где

1) Это решение сообщил автору Л. Мезенческу.
Квантование струны Намбу — Гото

161

Следовательно, величины принадлежат конечномерному

представлению группы Лоренца. Может ли tykAB иметь конечную норму (известно, что оператор U унитарен, если скалярное произведение лоренц-инвариантно, и скалярное произведение положительно определено)?

д. Вычислите Ра и (МАв>-

е. Приведенное выше решение не может быть непосредственно обобщено на случай открытой струны. Докажите, что 5 =

1 г я

= 2 j kABXA (о) Х'в (о) do = 0 для открытой струны (и, следо-

— JT

вательно, не удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби). Покажите, что из-за наличия ненулевых поверхностных чле-1 Гл

нов S = —\ kABXA (а) Х'в (о) do пе обладает хорошо определенной функциональной производной.

15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры, Каца — Муди Алгебра Вирасоро

\Lm, Lft] (tn tl)l-m+n~\ J2* (^ 6m,—n> (13.1.5.1)

которая, как мы видели, непосредственно связана с конформной симметрией, в последнее время нашла много приложений не только в теории струн, но также в статистической механике [21]. Поэтому исследование ее представлений вызвало значительный интерес [22].

Существуют и другие бесконечномерные алгебры, имеющие физические приложения. Среди них алгебры Каца — Муди [23] также играют роль в моделях струн. Они определяются следующим образом. Рассмотрим конечномерную алгебру Ли G со структурными константами Саьс и (матричными) генераторами Та. Генераторы Мат ассоциированной аффинной алгебры Каца — Муди удовлетворяют коммутационным соотношениям

[Мат, M/,n] = С аьМст+п -(- с/пдт> —ngab, (13.1.5.2)

где gab — тензорный инвариант присоединенного представления, т и п — положительные и отрицательные целые числа.

Алгебры Каца — Муди с нулевым центральным зарядом с = 0 легко построить следующим образом. Рассмотрим матрицы Мат = Таешв. Они удовлетворяют соотношениям

[^am! Mf,n] = С фМст+п, (13.1.5.3)

определяющим алгебру, которая называется алгеброй петель, поскольку последняя ассоциируется с отображениями окружности
162

Глава 13

в алгебру Ли G: когда 0 пробегает значения от 0 до 2л, Мат описывает петлю в G.

Мы уже сталкивались с алгеброй Каца — Муди, когда рассматривали трансляционные токи j“. Действительно, изотроп-

где знаки ± относятся не к координатам светового конуса фонового пространства-времени, а к изотропным направлениям вдоль струны.

Непосредственное вычисление дает

Величины а — фурье-компоненты токов-—образуют (при коммутировании) замкнутую алгебру Каца — Муди с нетривиальным центральным зарядом, основанную на группе трансляций.

Величины алп можно связать с осцилляторными переменными посредством соотношений

‘) Для упрощения последующих выкладок мы ввели в выражение {13.1.5.4) подходящие нормирующие множители.

2) Наша общая тактика на последующих страницах снова будет заклю-

чаться в рассмотрении открытой струны с последующими краткими замеча-

ниями об особенностях замкнутой струны в тех случаях, когда это необ-

ходимо.

ные компоненты jaA, определяемые как = j°a ± jla, равны *)

/л (о) = - (?А(о) ± 2^ГЛ (а)) , (13.1.5.4)

[/1 («т), /? И] = Ллв6' «О, [и (а), jg (а')] = —Ллв6' ст')’

(13.1.5.5а)

(13.1.5.56)

(13.1.5.5в)

В случае открытой струны2) определяется величина

/+ (or), 0 < а < л,

(13.1.5.6)

}А (о), — л<о<0,

и ее фурье-разложение

(13.1.5.7)

П

Из уравнений (13.1.5.5) следует

[«4m. «flJ = ГПЦавЬ.

(13.1.5.8)

алч = — л/2а' рА,

= аАп, аА_п = {аАп)* (п> 0). (13.1.5.9)
Квантование струны Намбу — Гото 163

Они отличаются от величин а ап в упражнении 2 в разд. 12.4.1 простым множителем д/2а'.

Существует тесная связь между алгеброй Вирасоро компонент энергии-импульса и алгеброй Каца — Муди (13.1.5.8) трансляционных токов. Это объясняется принадлежностью теорий к “типу Сугавары” с тензором энергии-импульса, квадратичным по токам [24].

Действительно, из уравнений (12.3.2.1) и (13.3.2.5) находим

+ Л

Ln = zt : jA(o) jA (о)'. eina do, (13.1.5.10)
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 116 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed