Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что второй член в правой части выражения
(13.1.3.1), хотя и не приведен к нормальному виду, тем не менее хорошо определен в пространстве Фока, поскольку сумма содержит лишь конечное число слагаемых. (Важно проводить вычисления таким образом, чтобы появляющиеся на любом этапе выражения были хорошо определены в выбранном пространстве представления. Это гарантируется использованием нормального упорядочения. Если бы мы выбрали другое пространство представления, например соответствующее “антинор-мальному упорядочению”, то вычисления проводились бы по-другому и мы получили бы другой центральный заряд.)
156
Глава 13
Нормальное упорядочение уравнения (13.1.3.1) сразу дает [Ln, ^--m] = НУ + -J2 (т® — т) (13.1.3.2)
(мы использовали тождество 6 (т — k)k = т(т — 1) (m+1)
d появляется из следа г);"' при суммировании по всем осцилляторам).
Итог этих вычислений состоит в том, что квантовая алгебра Вирасоро действительно приобретает аномальный с-числовой член, пропорциональный размерности пространства-времени:
[Lm, Ln] = (m — n)Lm+n + ^-(m3 — т)дт<_п. (13.1.3.3) Упражнения
1. Вычислите центральный заряд в (простом) представлении, ассоциированном с антинормальным упорядочением. Покажите, что хотя величины Ln и не меняются (п ф 0), получается противоположное значение (—d/12) (т3 — т) бт, _га.
2. Можно ли устранить центральный заряд в уравнении
(13.1.3.3) путем переопределения величин Lm\ Lm—>~Lm-\- ат, где ат — постоянные?
3. Докажите, что выражение для центрального заряда, задаваемое уравнением (13.1.3.3), является наиболее общим (с точностью до тривиального переопределения Lm->Lm + ^ т ) ¦
Указания, а. Покажите, что путем выбора ат в выражении [Lm, Ln\ ^ (ш ' Н) Lm+n “Н &тп (при kmn == knm) МОЖНО ПОЛу-чить &ош = 0; при этом величина а0 остается неопределенной.
б. Запишите ограничения на kmn, следующие из тождества Якоби.
в. Положите один индекс в тождестве Якоби равным нулю и выведите отсюда, что kmn = 0 при п ф—т (с учетом того, что k0m = 0), т. е. kmn = k (т) 6m, (т > 0).
г. Покажите, что k(m) удовлетворяет соотношению
(п — т) k (т + п) + (2п + т) k (т) — (2т + п) k (п) = 0. Выберите ао так, чтобы k(\) = 0. Получите искомое значение k (п) = -|г- (п3 — п) k (2).
13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
Выше мы подчеркнули тесное сходство условий Вирасоро со связями, возникающими в общей теории относительности; и те, и другие имеют общую причину — репараметризационную инвариантность.
Квантование струны Намбу — Гото
157
В квантовой гравитации связи для супергамкльтониана = 0 и суперимпульса = 0 налагаются как квантовые условия для физических состояний
Ж\$) = 0, Mi! "ф) = 0. (13.1.4.1)
Эти условия гарантируют калибровочную инвариантность квантовой теории в физическом подпространстве. В “представлении Шредингера”, где пространственная метрика ga(x) диагональна г[з = i|3 [g/(- (х).], уравнения (13.1.4.1) известны как уравнения Уилера—ДеВитта [20а].
Необходимое условие того, что ^ти уравнения имеют смысл, состоит в принадлежности квантовых операторов Ж и Ж^ “первому роду”: [Жа, Ж$\~Са$Жу, без “аномального” члена. Если бы такой член присутствовал, из уравнений (13.1.4.1) можно было бы получить дальнейшие условия на физические состояния, которые могли бы совершенно погубить теорию.
Следовательно, важным вопросом квантовой гравитации является поиск представления для полевых операторов и упорядочение связей таким образом, чтобы они оставались принадлежащими “первому роду”. Как мы видели, явное вычисление возможных аномальных членов не может быть проведено — за исключением чисто формального рассмотрения — без определенного выбора гильбертова пространства, в котором представляются основные коммутационные соотношения. Насколько нам известно, эта проблема не решена до сих пор; последние исследования обсуждаются в работах [206].
Если пытаться квантовать модель струны в соответствии со схемой Уилера — Де Витта, то немедленно возникают серьезные проблемы. Уравнения, аналогичные условиям (13.1.4.1), имеют вид
Z.J4>> = 0 (13.1.4.2)
для всех п; очевидно, что они являются несовместными вследствие наличия неустранимого центрального заряда в алгебре Вирасоро. Следовательно, нужно ослабить условия (13.1.4.2), требуя, чтобы они выполнялись только для положительных п:
LJi])) = 0, п> 0, (13.1.4.3)
(а также (L0 — ао)|г|з>=0, см. ниже). Эта ослабленная версия классических связей является теперь явно совместной, поскольку величины Ln с п > 0 образуют истинную группу без центрального заряда: центральный заряд появляется в уравнении
(13.1.3.3) только тогда, когда один индекс положительный, а другой отрицательный. Полная совместность теории при d ^ 26 доказывается в разд. 13.4.
158
Глава 13
Сравнение уравнений (13.1.4.1) и (13.1.4.3) приводит к ряду концептуальных вопросов, на которые мы попытаемся здесь ответить.
