Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
в. Пусть %’ — решение уравнения (а); тогда т/=1/2[/(т + + о) + &(т — ст)] и ст' = 7г [/(т + ст) — g(x— ст)]. Покажите, что система координат (т', ст') является допустимой в том и только в том случае, когда функции f и g обратимы.
г. Иногда вместо условия (12.5.2.10а) выбирают х = Х+. Какой интервал пробегает ст при таком выборе? Замечание. В этом случае соотношение (12.5.2.9а) должно иметь вид &>+(о) =
=р+/(интервал ст), чтобы иметь \ <?+ (o)do = p+.
Струна Намбу — Гото: классический анализ
141
12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
В конформной калибровке легко получить решение динамических уравнений струны в виде
ХА (х, ст) = j [fA (т + а) + gA (х - а)], (12.5.3.1)
или в изотропных координатах 0 и 0'
Хл (0, e') = 4-tf>1(0> + ^(0')]- (12.5.3.2)
Калибровка светового конуса допустима и будет хорошо определена глобально только в том случае, если f+(6) и g+(0') являются обратимыми функциями (см. приведенное выше упражнение). При некоторых условиях этого может не быть.
Чтобы найти, в каких случаях невозможно наложить калибровку светового конуса, мы должны прежде всего принять во внимание условия 7'ccg(X) = 0, а также граничные условия при 0' = 0 и 0' = 0 + 2/(0). (Далее мы ограничимся рассмотрением только случая открытой струны. Некоторые замечания, касающиеся замкнутой струны, приведены в разд. 12.5.7.)
Условия 7’ар(Х) = 0 будут удовлетворены, т. е. система координат 0, 0' будет изотропной, только в том случае, если векторы dfA/dd и dgA/dQ' являются изотропными:
df dfB — „ dg dg —q (12 5 3 31
dQ dQ 4ab dQ' dQr —U-
Кроме того, граничное условие (12.5.1.3), которое задает поведение струны вблизи границ, будет иметь место в первой граничной точке 0 = 0', если изотропные векторы dfA/dQ и dgA/d%r равны при 0' = 0. Но если f'A (0) = g'A (0), то без потери общности можно считать, что функции fA и gA тождественны:
/л(0) = ?л(0). (12.5.3.4)
Тогда условие (12.5.1.3) будет выполнено в другой граничной
точке, если
f'A (6) = f'A (0 + 21 (0)).
Выбирая подходящую параметризацию для 0, которая приводит к интервалу изменения ст от 0 до я, т. е. / (0) = ах, получаем
f'A (0) = р (0 _|_ 2я). (12.5.3.5)
Периодичность по 0 производной f'A, означает, что
fA (0 + 2л) = fA (0) + 2па'рА, (12.5.3.6)
142
Глава 12
где рА — некоторая постоянная “нулевая мода”. Явные вычисления показывают, что рА есть не что иное, как импульс струны.
В соответствии с этим мы видим, что распространение струны полностью определяется одной функцией fA(Q), т. е. задается движением одного из своих концов 0 = 0', который движется со скоростью света по винтовой траектории:
ХА (0, 9') = у[/л(е) + /лГ)], (12.5.3.7а)
= (12.5.3.76)
fA (0 + 2it) = fA (0) + 2яа'рА. (12.5.3.7в)
Если рА — времениподобный вектор, то существует “система покоя”, в которой рА =(р, 0,0, ..., 0); в этой системе отсчета конец струны 0 = 0' описывает периодическую замкнутую орбиту со скоростью света.
Из уравнений (12.5.3.7) вытекают интересные следствия. Во-первых, из уравнения (12.5.3.7в) получаем, что рА можно представить в виде суммы направленных в будущее изотропных векторов:
2Я
tsH6- <12'5-3-8)
о
и, следовательно, он обязательно должен быть времениподоб-ным или изотропным:
p2==pV4<0. (12.5.3.9)
Другими словами, классическая струна не имеет тахионного состояния движения.
Кроме того, равенство в (12.5.3.9) достигается в том и только в том случае, когда вектор d.fA/dQ параллелен некоторому заданному изотропному направлению при любых значениях
0, т. е.
dfA/dQ = k (0) цл. (12.5.3.10а)
Это означает, что для соответствующей функции k(Q) имеем
fA(0) = M0)^ + /o- (12.5.3.106)
Подставляя уравнения (12.5.3.10) в соотношение (12.5.3.7а), получаем, что изотропный импульс рА соответствует струне, стянутой в точку, которая движется с постоянной скоростью, равной скорости света. Эти движения соответствуют основному состоянию струны.
Струна Намбу — Гото: классический анализ
143
Уравнения (12.5.3.7) позволяют рассматривать правомерность калибровки светового конуса на массовой поверхности. Вопрос в сущности сводится к следующему: является ли функция /+(0) обратимой. Из уравнения (12.5.3.7в) видим, что необходимо рассматривать два случая.
1. р+ = 0. Выражение р2 — -—2р+р~ + 2 (р‘)2 является не положительным (соотношение (12.5.3.9)), поэтому оно может иметь место только в том случае, если р2 — 0 и р1 = 0 {\р~\<
