Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для доказательства калибровочной инвариантности теории нужно показать, что эти различные гамильтонианы обладают одинаковыми матричными элементами между физическими состояниями.
Важная особенность, подмеченная Фрадкиным и др. [30], состоит в том, что различные выборы калибровки в лагранжиане приводят формально к БРСТ-инварианту — эрмитовым гамильтонианам, связанным между собой соотношением!) __________ Я' = Я + [К, О], (13.2.1.1)
*) Формальным этот вывод является потому, что игнорируются проблемы упорядочения; соотношение (13.2.1.1) было получено с помощью континуального интегрирования.
166
Глава 13
где оператор К зависит от выбора калибровки, а й— (эрмитов) БРСТ-заряд')• В отличие от К оператор ?2 не зависит от калибровки. Позднее многие айторы обнаружили, что Н' — Н есть “полная й-производная“.
Кроме того, Фрадкин и др. [30] дали также общий рецепт построения й для любой калибровочной теории (с замкнутой
алгеброй или без нее) и показали, что БРСТ-генератор яв-
ляется нильпотентным, если пренебречь эффектами квантового упорядочения:
й2 = y [й, й] = 0. (13.2.1.2)
Заметим, что из уравнения (13.2.1.2) следует соотношение
[ [К, й], й] = 0, требуемое БРСТ-инвариантностью операторов Н и Н'. Классические основы и обзор узловых моментов этих замечательных работ [30] можно найти в работе [31], к которой мы и отсылаем читателя.
Ясно, что соотношению
<х1/ЛФ) = (х1Я|г|>> (13.2.1.3)
может удовлетворить не любая пара квантовых состояний, поскольку величина <%| [ТС, ?2] |г|з> в общем случае не равна нулю. Это приводит к определению физических состояний как состояний, уничтожаемых БРСТ-зарядом [32]:
? |ф) = 0. (13.2.1.4)
Соотношение (13.2.1.3) следует из условия на физические состояния (13.2.1.4) в том случае, если |%> и |f> являются физическими состояниями. Того, что лишь подмножество полного линейного пространства состояний окажется физическим, разумеется, следовало ожидать, поскольку мы включили в рассмотрение и чисто калибровочные, и духовые степени свободы.
Вследствие условия нильпотентности (13.2.1.2) любое состояние вида й|%> для произвольного |%> является физическим. Но из-за эрмитовости оператора й такое состояние отщепляется от остальных физических состояний, поэтому |\|)> следует отождествить с |ij)>+Q|%>:
I 'Ф) ~ I ,Ф) + й | %)• (13.2.1.5)
Состояния вида й | х) называются нулевыми состояниями.
Аналогично БРСТ-инвариантные операторы (такие как Н) отображают физическое подпространство на себя и называются
*) Квантовые скобки [ , 1 обозначают антикоммутатор нечетных объектов типа К и Q.
Квантование струны Намбу — Гото
167
наблюдаемыми. Такие наблюдаемые, как [К, Я], рождают нулевые состояния и должны быть отождествлены с нулем:
H~H+[K,Q]. (13.2.1.6)
Преобразования (13.2.1.5) и (13.2.1.6) называются квантовыми калибровочными преобразованиями, поскольку, как мы уже упоминали, различные выбора калибровки в континуальном интеграле приводят к гамильтонианам, связанным посредством (13.2.1.6). Кроме того, отношение эквивалентности (13.2.1.5) редуцирует физическое подпространство (13.2.1.4) таким образом, что в классической и квантовой теориях оказывается одинаковое число степеней свободы. Это свойство, а именно соответствующее сокращение чисто калибровочных степеней свободы, является, конечно, еще одним проявлением принципа калибровочной инвариантности. Оно действительно ^дблжно иметь место, если калибровочная инвариантность реализуется квантовомеханически. (Примечательно, что все собственные значения оператора Q равны нулю, а его нормальная жорданова форма содержит одномерные и двумерные блоки. Условия (13.2.1.4) и (13.2.1.6) “уничтожают” двумерные блоки.)
Необходимо ясно понимать, что квантовая калибровочная инвариантность (13.2.1.5) и (13.2.1.6) не существовала бы, если бы оператор Я не был нильпотентным. Например, состояние Я]х> не являлось бы физическим нулевым состоянием, а число истинных квантовых степеней свободы отличалось бы от ожидаемого. Следовательно, можно сказать, что нильпотентность оператора Я есть квантовое выражение принципа калибровочной инвариантности. Без условия Я2=0 нельзя было бы переходить от одной калибровки к другой, и калибровочная инвариантность не реализовалась бы на квантовом уровне.
В разд. 13.2.4 мы получим условия, при которых соотношение Я2 = 0 выполняется в теории струн. Было показано [19], что значение d = 26 следует из нильпотентности.
13.2.2. Классическое выражение для БРСТ-заряда
Рецепт получения классической величины Я из калибровочных связей описывается в литературе [30,31]. Каждой связи Ga сопоставляется пара канонически сопряженных духов г\а и ?Ра, удовлетворяющих соотношениям
(л“)’ = Т|в, = (13.2.2.1)