Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
которые показывают, что а+ и Х+ являются зависимыми переменными. Если соотношения (12.5.4.1) окончательно фиксируют калибровку (а мы знаем, что это так, поскольку функции хода N и сдвига N1 полностью определяются этими соотношениями), то должна существовать возможность разрешить условия Вирасоро L„ = 0 и найти, таким образом, сопряженные переменные а~ и р~.
В самом деле, из условия (12.4.1.8) находим
где L‘r, определяются теми же выражениями (12.4.1.8), что и Ls, Ln, но суммирование производится только по поперечным индексам. Основное достоинство калибровки светового конуса состоит в том, что условия Вирасоро являются линейными по
ап = °> Х0 = 2aV + T,
(12.5.4.1)
ап = iLnlV2а'п р+ (п > 0), p- = L‘72aV,
(12.5.4.2)
(12.5.4.3)
1) Как уже говорилось, здесь и ниже мы рассматриваем открытую струну.
146 Глава 12
а~ и р~, поэтому в этой калибровке их можно легко разрешить, как это видно из соотношений (12.5.4.2) и (12.5.4.3).
Переменные р+, Хо, р1, Хо и ah являются совершенно произвольными и выбираются в качестве независимых переменных. Они соответствуют реальным степеням свободы струны (с/ — 2 поперечных осцилляторных переменных, а также координаты и импульс центра масс).
Следующий этап состоит в вычислении скобок Дирака независимых переменных. (Скобки Дирака для остальных “зависимых” переменных непосредственно следуют из выражений для этих переменных в терминах независимых переменных, так как связи и калибровочные условия имеют нулевые скобки Дирака с чем бы то ни было в силу определения скобок Дирака. Поэтому связи и калибровочные условия могут накладываться до вычисления скобок.) С этой целью перепишем калибровочные условия и связи (12.5.4.1) — (12.5.4.3) в виде
Хп^ап= °> %^х+ -2а'р+х = 0,
*4Г л _ 4Г л (12.5.4.4) “V5KV- ф~р Матрица С скобок Пуассона для системы (12.5.4.4) легко вычисляется: калибровочные условия % имеют нулевые скобки сами с собой, то же относится и к связям первого класса ф. Единственные ненулевые скобки имеют вид [Х„. Ф-п’] = йп> и h, ф] = \, поэтому формально матрица С записывается в виде % ф
/ о)ф '
Обратная матрица имеет такой же вид, поэтому скобки Дирака определяются соотношением [13]
[F, G]„ = [F, G]P + “[F, ф]Р [%, G]P - [f, %]P [ф, G]p“. (12.5.4.5)
Интересно, что из определения (12.5.4.5) следует, что [F, D\d — [F, G\p всякий раз, когда F и G коммутируют с калибровочными условиями х (т- е- [Л In] = [G, %п] = [/% yj —
— [G, х] = 0). Ясно, что этим условиям удовлетворяют переменные р+, р1, Х{0 и а1п. Поэтому для этих переменных скобки Дирака и Пуассона совпадают.
Единственное исключение составляет переменная Хо, так как х] = 2а'х ф 0. Это наводит на мысль заменить
переменной щ:
Uq — X' — 2а'р~х, (12.5.4.6)
Струна Намбу — Гото: классический анализ
147
которая обладает свойством х] — [«(Г. %п\ = Если ис-
пользовать и~ в качестве новой независимой переменной, то получаем каноническую форму для скобок Дирака
К- P+\D = ~1’ R. Р']0 = б1/- (12 5 4 7)
К> an']D = -
ПП
(все остальные скобки Дирака равны нулю). Ниже мы будем опускать индекс D в скобках Дирака.
Упражнение. Разрешите связи в непрерывном представлении Ж = Ж\ = 0. Покажите, что Хо возникает как постоянная интегрирования в общем решении -Х~(а) уравнения Ж\— 0.
12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
Калибровочное условие (12.5.4.1) явно содержит время т, поэтому в калибровке светового конуса эволюция во времени динамических переменных не определяется просто из скобок Дирака этих переменных с каноническим гамильтонианом. Так как последний равен нулю1), обычная процедура приводила бы к бессмысленному утверждению, что ничто не зависит от времени т.
Такой способ (использование скобок Дирака в динамических уравнениях) применим только для независимых от времени калибровочных условий [13] ив данном случае явно противоречит требованию сохранения во времени условия % = 0 (вместо
этого получаем X = 1Х- Щ о + дх/дх = 2а'р+).
Чтобы корректно описать эволюцию во времени в калибровке светового конуса, нужно действовать по-другому. Одна из зозможностей состоит в том, чтобы провести зависящее от времени каноническое преобразование, которое переводит калибровочные условия в независящие от времени условия и генерирует ненулевой гамильтониан через частную производную по времени от производящей функции S, #->- Н -f- dS/dx. В нашем случае получаем (см. упражнение 1 в конце раздела)
dS/dx = 2а'р+р~. (12.5.5.1)
Следовательно, гамильтониан в калибровке светового конуса имеет вид
