Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Из алгебры (12.3.2.7) следует, что коэффициенты Фурье Ln s= L [eina] связи Q+(cr) удовлетворяют алгебре Вирасоро, которая в своей первоначальной форме имеет вид1)
[Lm, Ln] = i(n — m) Ln+m. (12.3.2.8)
Условия
Ln = 0 (12.3.2.9)
полностью эквивалентны каноническим связям. Они называются условиями Вирасоро для открытой струны. Легко
') Появление множителя i объясняется тем, что на классическом уровне мы используем скобки Пуассона, поэтому здесь не возникает также центрального заряда.
130
Глава 12
установить, что
'L_n = LTa. (12.3.2.10)
В случае замкнутой струны связи Q+(a) = 0 и Q~(ct) = 0 являются независимыми. Соответственно этому появляются два набора генераторов Вирасоро:
2я
f(a)QJ (<y)da, (12.3.2.11а)
fl
2Л
f(o)Q~(a)da. (12.3.2.116)
о
Их компоненты Фурье определяются формулами
Ln = L [etna] = Г (12.3.2.12а)
Z„ = I[e“iR<I] = r_„ (12.3.2.126)
(знак минус в экспоненте введен для того, чтобы ниже была полная симметрия между генераторами Ln и Ln), и они удовлетворяют следующей алгебре:
[Lm, Ln] = i(n — т) Ln+m, (12.3.2.13а)
[Ln,Ln] = 0, (12.3.2.136)
[Lm, Ln] = i(n — m)Ln+in. (12.3.2.13в)
В данном случае полный набор условий Вирасоро имеет вид
Ln = 0, 1,„ = 0. (12.3.2.14)
Соотношения (12.3.2.14) в точности эквивалентны гамильтоновым связям.
Упражнения
1. Открытая струна:
а. Вследствие соотношений ХА (—ст) = Хл (ст), За (—ст) = = 3>а(о) канонические переменные не могут удовлетворять на всем интервале [—я,+л] скобкам Пуассона [Хл(ст), 3>в(а'Ц = = 6^6 (ст, ст'). Напишите правильные скобки Пуассона.
б. Покажите, что, несмотря на это, выражение (12.3.2.2а) для [Q+(ct), $+(0')] справедливо и на всем интервале [—я, л].
2. Замкнутая струна. Покажите, что L0 — L0 генерирует сдвиги пространственного параметра ст на постоянную величину вдоль струны ст->ст+а.
Струна Намбу — Гото: классический анализ
131
12.4. Фурье-Моды
12.4.1. Открытые струны
Связи являются квадратичными по полям, поэтому для исследования их вполне применим метод фурье-разложений.
Как следствие граничных условий при ст = 0 и я = .и в данном случае допускаются только “стоячие волны” типа косинуса. Следовательно, имеем фурье-разложение полей в виде
ХА = — [ ХА (ст) da, ХА = — \ ХА (ст) cos па da, (12.4.1.3)
и Л J п Л J
В калибровке N= 1, N1 = 0 координата и импульс центра масс (ХА, рА) (нулевые моды разложения) выступают в качестве координаты и импульса свободной частицы (ХА ~ х, рл = const), тогда как высшие моды описывают гармонические осцилляторы с частотами п. Это наводит на мысль определить осциллятор-ные переменные 0
(все остальные скобки Пуассона равны нулю).
1) Хотя мы и предположили конкретный вид калибровки, переход к новым осцилляторным переменным (12.4.1.6) можно проделать независимо от какой-либо калибровки.
ХА(о) = Х* + ? ХА cos па,
/г> 0
(12.4.1.1)
(12.4.1.2)
п> О
где
Я
о
о
71
Ра=\ & а (ст) da — полный импульс струны, (12.4.1.4)
&А = ^ &А (ст) cos па da. (12.4.1.5)
о
(12.4.1.6а)
(12.4.1.66)
Тогда из (12.3.1.1) получаем
[*оЛ> Рв[ = К,
К > ап'1 = — 1ЦАВЬ„, п’ (п, п' > 0)
(12.4.1.7а)
(12.4.1.76)
132 Глава 12
В новых переменных (Х^, рв, аА, а®,*) условия Вирасоро принимают вид
Ln = ~ 1V2шх' рАа? + ? V(« + л) m a^m<+n ~
Я7 > О
/г — I
~ у ? У (/г — m) m аАтап_т> п> 0, (12.4.1.8а)
m= 1
K=L_a, (12.4.1.86)
i0 = “V+E «vf. (12.4.1.8в)
п >0
Эти соотношения являются отправной точкой в квантовой теории. Связи в форме (12.4.1.8) выводятся прямыми вычислениями без привлечения каких-либо новых понятий.
Наконец, приведем выражения для пуанкаре-зарядов в случае фурье-разложений:
Ра = Ра, (12.4.1.9а)
^АВ~ у(Рд^В0 ХЛ0Рв) + Т X г {аАпаВп авпаАп)- (12.4.1.96)
Если сравнить соотношения (12.4.1,8в) и (12.4.1.9а), то становится ясно, что связь Lq = 0 является спектральным уравнением, которое связывает квадрат массы струны т2 — —Р2 =
