Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
exp (ik ¦ Х0) [0, 0) = | 0, к), (13.1,2.2а)
рл| 0, k) = kA\ 0, к), (13.1.2.26)
где собственные состояния импульса нормированы следующим образом:
(0, k'\0, k) = (2n)dbW{k — k'). (13.1.2.2b)
Произвольное состояние является суперпозицией состояний |Я,/г), где X — осцилляторное число заполнения (для каждого осциллятора аА свое A), a k — ^-импульс.
Эти определения придают конкретный смысл операторам ХА, Рв> ат> ап* и их коммутационным соотношениям, которые имеют вид
Рв\=Ч> (13.1.2.3)
К-«пВ*]=Л,я- (13.1.2.4)
Временная компонента соотношения (13.1.2.4) имеет вид [а°т, а°*] = —1; таким образом, при действии на вакуум нечетного числа операторов рождения а°п* генерируются состояния с отрицательной нормой. Это неизбежно, если в рамках нашего фоковского представления требуется явная лоренцева инвариантность.
Устранение состояний с отрицательной нормой будет предметом обсуждения разд. 13.4. Здесь же наша цель состоит в том, чтобы выяснить, каким образом проблема упорядочения влияет на алгебру Ln-
Заметим по этому поводу, что операторы Вирасоро при п Ф 0 строятся из произведений коммутирующих операторов,
154
Глава 13
следовательно, неоднозначности упорядочения для них не возникает:
Ln = ~i У2тГ рлаА + ? У(/л + п) т aAmafn+n -
m> 0
n-l
^/(rt — m)mаЛта2-т> (13.1.2.5а)
т = 1
^-п = К =г' V2^ рХ* + J] У (т + л) m«L+Х -
m>0
п—1
-тЕ л/(« - т)та;_АЛ (13.1.2.56)
m= 1
(п>0). Мы выбрали нормальное упорядочение для L„ и L-n в выражениях (13.1.2.5), но с таким же успехом могли выбрать и “антинормальное”, не меняя Ьп или L-n.
Реальная неоднозначность упорядочения содержится в единственной нулевой моде L0. Поскольку мы приняли фоковское представление, квантовый аналог L0 должен быть хорошо определен в пространстве Фока. Это означает, что он может отличаться от своего нормально упорядоченного выражения
а У+Е« (13.1.2.6)
П
самое большее на конечную константу а0-
Впредь мы резервируем символ L0 для нормально упорядоченного выражения (13.1.2.6)
4 = + (13.1.2.7)
П
и при последующих вычислениях будем помнить, что квантовым аналогом классической величины L.T может являться и L0 — ссо:
1ол->1о-ао, (13.1.2.8)
где величина <х0 конечна. Отметим, что иная процедура упорядочения с бесконечной а0 (например, антинормальное упорядочение), очевидно, приводит к плохо определенным фоковским
операторам.
Упражнение. Охарактеризовать представление коммутационных соотношений (13.1.2.3) и (13.1.2.4) в “другом гильбертовом пространстве”, в котором антинормальное упорядочение имеет смысл. Замечание-, в таком представлении операторы ап (а'п) Р0ЖДают состояния с положительной (отрицательной) нормой.
Квантование струны Намбу — Гото
155
13.1.3. Алгебра Вирасоро
Наша стратегия построения квантовой алгебры операторов Вирасоро состоит в следующем. Единственной причиной, по которой квантовая алгебра отличается от своего классического аналога, умноженного на ifi, является наличие в выражении [Lm,Ln] — (т — ri)Lm+n членов, которые сокращают друг друга на классическом уровне, но не делают этого в квантовомеханическом случае вследствие различного упорядочения.
Далее, оператор Lm+n квадратичен по основным переменным и приведен к нормальному виду в соответствии с нашим выбором пространства Фока. Поэтому квантовые эффекты могут проявиться только в том случае, когда коммутатор [Lm,Ln], тоже квадратичный по основным переменным, не является нормально упорядоченным. Это означает, что центральный заряд равен члену, возникающему при нормальном упорядочении [Lm, Ln\ .
Поскольку мы знаем классический вид коммутатора, нам нужно просто найти “аномальный” член. Более того, мы ожидаем— это легко проверить — появления ненулевого центрального заряда только тогда, когда Lm+n = Lo, т. е. п = —т, поскольку неоднозначность упорядочения проявляется только в операторе Lo.
Следовательно, мы вычисляем [Lm, L_m] при т> 0:
\^ту т]
т-1
= ну + т Z (rn-k)k(m-s)s (ак • <6* s + Ч ¦ <?_ А,-*. *) >
k, S = 1
(13.1.3.1)
где НУ — нормально упорядоченное выражение, точный вид которого нас здесь не интересует, поскольку оно не используется при вычислении центрального заряда.