Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
= —р2 с возбужденными состояниями струны.
Упражнения
I. Получите связи в виде (12.4.1.8).
2а. Пусть а — переменные, определенные следующим образом:
ао = —2а'рл, а п—1л/ 2а' л/п at (п> 0), а-п — (а*) .
Вычислите скобки Пуассона этих переменных.
26. Покажите, что функции Вирасоро в новых переменных а? принимают вид
оо оо
Ln = ап — тат 4а' а-пАг + /п-
— оо —оо
12.4.2. Замкнутые струны
Случай замкнутых струн рассматривается совершенно аналогично случаю открытых струн. И это не удивительно, поскольку связи и в том, и в другом случае очень похожи.
Струна Намбу — Гото: классический анализ
133
Имеются только два технических отличия:
1. Так как границ не существует, в данном случае осцилляторов оказывается в два раза больше. Стоячие волны могут возникать обоих типов или, что то же самое, могут возникать независимые бегущие волны, движущиеся вправо и влево. Следовательно, формулы разложения для ХА и ?РА имеют вид
(12.4.2.16)
Осцилляторные переменные сА и сА являются независимыми. Скобки Пуассона имеют вид
(все остальные скобки Пуассона равны нулю).
2. Число связей в данном случае также удваивается, так как Q+(a) и Q~(a) теперь совершенно независимы. Генераторы Вирасоро в новых осцилляторных переменных имеют вид
П— 1
+ КОМПЛ. сопр.),
(12.4.2.1а)
9*{о)=-к +
А
оо
п — 1
(12.4.2.2а)
J = — («> »' > 0)
(12.4.2.26)
Ln = - \ V2т' рАсАп + ? Vт(т + п) сАтсА
Ат т+п
(12.4.2.3а)
m= 1
Ln такое же с заменой с на с,
(12.4.2.36) (12.4.2.3в) (12.4.2.Зг)
я>0
п> 0
134
Глава 12
Отсюда видно, что в связях Ьп = 0 и ?п = 0 правобегущие и левобегущие секторы, которые описываются осцилляторами с и с соответственно, почти всегда являются независимыми. Исключение составляет лишь условие L0 — Lo = 0 — спектральное соотношение, которое связывает оба сектора, а также тот факт, что нулевая мода рА не соответствует бегущей волне и является одновременно и правой и левой переменной.
Заметим также, что переход от выражений (12.4.1.8) для открытой струны к выражениям (12.4.2.3) для замкнутой стоуны осуществляется простой заменой р на р/2 и а на с (или с).
Так же, как в случае открытой струны, завершим рассмотрение выражениями для пуанкаре-зарядов:
Ра = Ра, (12.4.2.4а)
^АВ = ~2 {Ра^Во Рв^а,/}
~ + Т Е 1 (САггСВп + САп^Вп - СВпСАп ~ (12.4.2.46)
Упражнение. Область изменений о иногда выбирается равной [0, л] и считается, что поля периодичны с периодом л. Предложите правила, которые позволят переписать приведенные выше формулы в этой новой системе обозначений.
12.5. Калибровка светового конуса
Калибровка светового конуса играет очень важную роль в теории струн. Например, только в этой калибровке существует последовательное квантование суперструн.
12.5.1. Конформные калибровки
Калибровка светового конуса принадлежит к семейству так называемых конформных калибровок. Как мы указывали выше, любая двумерная метрика является конформно плоской. Следовательно, существует такая система координат, в которых метрика принимает вид
?ар = ?2Лар> (12.5.1.1)
или, как мы уже писали,
gap = V— gTlap. (12.5.1.2)
Существование такой системы координат легко установить локально [5]. В глобальном смысле этот вопрос был гораздо лучше исследован для случая римановых поверхностей (т. е.
Струна Намбу — Гото: классический анализ
135
для метрики с евклидовой сигнатурой), и было найдено, что для неодносвязных поверхностей необходимо вводить “модули”. Хотя исследования еще не завершены в полной мере, по-види-мому, для случая несингулярной псевдоримановой поверхности, рассматриваемой здесь, такие сложности не возникают1). Это обусловлено тем, что, как обычно предполагается, причинная структура пространственно-временной поверхности, заметаемой струной, является тривиальной. Теперь мы объясним это подробнее.
Рассмотрим для определенности открытую струну, так как в этом случае возникают более интересные вопросы. Зададимся целью доказать, что можно определить глобальные координаты (т. а), где 0 ^ ст ^ я, такие, чтобы выполнялось соотношение
(12.5.1.1). Как ясно из проведенного выше обсуждения граничных условий, пространственно-временной вектор дХА/до в конформных координатах обязательно равен нулю в граничных точках. Но кроме этого вырождения в граничных точках координаты (т, ст) всюду должны быть регулярными.
Предположение о тривиальности причинной структуры поверхности эквивалентно требованию, что любое событие на мировой поверхности струны находится по отношению к границам либо в причинном прошлом, либо в причинном будущем. Точнее, если 0 — регулярный “временной параметр” вдоль мировой линии одного из концов струны (в качестве 0 можно взять, например, время Минковского /), то предполагается, что каждому событию Р на мировой поверхности можно сопоставить пару координат (0,07), таких, что 1) 0 — момент времени, когда