Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
— Л
где символ : : обозначает нормальное упорядочение. Разложение (13.1.5.7) позволяет представить выражение (13.1.5.10)
в виде
^ = (13.1.5.11)
т
(в соответствии с упражнением 2 в разд. 12.4.1)
Упражнения
1. Исследуйте алгебру лоренцевых токов.
2. Исследуйте алгебру величин Ln вместе с ат-
13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
Точная квантовая теория струн на искривленном фоне построена лишь для весьма частных случаев и поднимает ряд сложных вопросов. Мы остановимся на этом предмете ввиду его важности.
Рассмотренные типы фоновых многообразий являются прямыми произведениями d-мерного пространства Минковского на пространства групп SO(N) или SU(N) [25]:
MXSO(N) или MXSU(N). (13.1.6.1)
Кроме того, компактифицированный радиус группового многообразия выбирается квантованным в единицах натяжения струны
R2 = ~\K\, (13.1.6.2)
где К — целое число.
Действие струны является суммой квадратичной формы действия Намбу—Гото и члена Весса — Зумино с коэффициента-
ми, подобранными так, чтобы была восстановлена конформная
164
Глава 13
инвариантность; подробности, касающиеся условия квантования
(13.1.6.2), можно найти в работах [25, 26] ‘).
Соотношение (13.1.6.2) позволяет показать [26], что алгебра SU(N)- или SO (N) -токов имеет очень простой вид; токи образуют в точности алгебру Каца — Муди, основанную на группах SU(N) или SO(N).
Поскольку компоненты тензора энергии-импульса все еще билинейны по токам, можно определить алгебру нормально упорядоченных операторов Ьп [25, 27], которая снова оказывается алгеброй Вирасоро
[Тп, Lm] = (n — m)Ln+n+j2 (п3 — п) 6га> _т (13.1.6.3) с центральным зарядом с, задаваемым выражениями
c=d + ^wrlгг для SU{N)’ (13Л-6-4а) iiv(jv-i)m
c = d+ lKl + N_2 ДЛЯ SO (N). (13.1.6.46)
Хотя эти модели и интересны, они обладают тем особым свойством, что не могут быть получены непрерывным преобразованием из плоских моделей, поскольку кривизна внутреннего многообразия принимает только квантованные значения.
Упражнение. Является ли величина с целой?
Дополнительное замечание. За время, прошедшее после чтения лекций, на которых основана данная книга, были достигнуты существенные успехи в различных направлениях исследований [28]. В работах [28] струна квантуется по теории возмущений на произвольном фоне. Согласованность квантовой теории налагает условия на фон. Излагать здесь эти интересные работы было бы неуместно.
13.2. Квантование струны методом Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (БРСТ)
13.2.1. БРСТ-квантование — краткий обзор (
Наиболее быстрый, но не столь хорошо понятый способ получения критической размерности 26 состоит в применении БРСТ-методов, которые обладают еще и тем дополнительным преимуществом, что они имеют чисто алгебраический характер.
‘) Струна рассматривается как а-модель.
Квантование струны Намбу — Гото
165
Мысль о том, что БРСТ-методы могут оказаться полезными в квантовой теории струнных моделей, была впервые высказана в работе Полякова [7а] и воплощена в реальность в работах [19]. БРСТ-подход, по-видимому, также играет важную роль во вторично квантованном варианте теории струн [29], поэтому мы коротко опишем его здесь.
Один из ключевых концептуальных вопросов, возникающих в квантовой теории калибровочных полей, состоит в том, является ли теория в действительности калибровочно-инвариантной. Хорошо известно, что калибровочная инвариантность в квантовой области представляет собой тонкий вопрос, смысл которого зависит от примененной схемы квантования.
Мы рассмотрим здесь такую схему, в которой все компоненты поля, включая те, которые соответствуют чисто калибровочным степеням свободы, трактуются как равноправные динамические операторы. Затем, чтобы компенсировать фиктивные квантовые эффекты, индуцированные чисто калибровочными операторами, вводятся дополнительные локальные поля — “духи”.
Этот подход к квантовой теории имеет огромное преимущество, состоящее в сохранении одного важного свойства полевых теорий, а именно пространственно-временной локальности. Более того, все основные поля обладают с-числовыми коммутационными соотношениями, а не ^-числовыми (которые, как хорошо известно, приводят к запутанным проблемам упорядочения) .
Динамика чисто калибровочных степеней свободы генерируется путем добавления к классическому калибровочно-инвариантному лагранжиану членов, фиксирующих калибровку, и членов Фаддеева — Попова. Различные калибровочные условия порождают различные лагранжианы и, следовательно, различные операторы Гамильтона в квантовом линейном пространстве определения операторов калибровочного поля и духовых операторов.
