Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
2. Постройте гамильтонов формализм для релятивистской мембраны. В качестве отправной точки используйте действие с квадратным корнем или квадратичное действие. Во втором случае появятся связи второго класса. Освободитесь от них подходящим выбором скобок Дирака.
12.2.3. Гамильтонова форма граничных условий (случай открытой струны)
Как мы уже видели, в случае открытых струн уравнения движения нужно дополнить граничными условиями (12.1.7.6). Цель данного раздела — переписать условия (12.1.7.6) на языке канонических переменных X4, и лагранжевых множителей
.N, NK
Из определений N и N1 легко вывести, что
А —> оо, N —>-0, yv1 ->0 при а—>-0, я. (12.2.3.1)
Кроме того, &А не может расти быстрее, чем N~l, так как
величина
д0ХА = [ХА, н] = NPA + N'x'a (12,2.3.2)
должна оставаться конечной.
Граничные условия в виде (12.2.3.1) здесь неудобны. Можно воспользоваться тем фактом, что 2Ра является плотностью, и переписать граничные условия в более удобном виде. Идея состоит в том, что если заменить координату а на
Струна Намбу — Гото: классический анализ
125
так чтобы да/да'^- 0 в граничных точках, то можно сделать &А конечным. Тогда N становится тоже конечным. Это можно проделать, не нарушая интервала ст.
В выбранных подходящим образом координатах новая форма граничных условий имеет следующий вид:
при ст = 0, я. Очевидно, что можно перейти от функций, удов-
всюду; это осуществляется соответствующим преобразованием координат. Таким способом получают новые ?РА, N и N1, которые удовлетворяют первоначальным граничным условиям. Поэтому можно принять условия (12.2.3.3), которые более удобны, так как в этом случае ни одна из переменных не имеет сингулярного поведения в граничных точках.
Упражнение. Проверьте явно утверждения, сделанные выше. Исследуйте более детально поведение переменных в окрестности точек ст = 0, п.
Уравнения движения будут сохранять условия (12.2.3.3) только в том случае, если пространственные производные высших порядков от канонических переменных подчиняются специальным ограничениям.
Это легче всего проанализировать, если предположить, что калибровочные функции, которые имеются в нашем распоряжении, N и N1 удовлетворяют следующим условиям:
Здесь обозначает k-ю производную от функции f1). Тогда уравнения движения
вместе с условиями (12.2.3.3) означают, что все нечетные производные от ХА и 3*а равны нулю в граничных точках:
(12.2.3.3а)
(12.2.3.36)
(12.2.3.3в)
(12.2.3.3г)
летворяющих условию (12.2.3.3а) (и х'АФО внутри интервала), обратно к “регулярным” координатам, в которых Х'А Ф О
N(2k+\) _ 0, дг1<2*) = 0 при а = 0> (12.2.3.4)
ХА=[ХЛ, Я], = Н] (12.2.3.5)
(2/s+I)_____^(2&+1)
= 0 при ст = 0, я. (12.2.3.6)
‘) Предположение, что функции принадлежат С", конечно, можно ослабить, но здесь это для нас несущественно.
126 Глава 12
Граничные условия (12.2.3.4) при ст = 0 в совокупности эквивалентны утверждению, что можно осуществить гладкое продолжение канонических переменных на интервал [—я, 0], используя следующие свойства симметрии:
ХА(-а)=ХА(а), РА(-о) = РА(о), (12.2.3.7а)
N(—a) = N(o), Nl(-a) = -Nl(a). (12.2.3.76)
Граничные условия при а = я тогда означают, что эти переменные можно продолжить на всю действительную ось и, таким образом, сделать их гладкими периодическими функциями с периодом 2л.
Упражнение. Покажите, что с учетом приведенных выше граничных условий гамильтониан в том виде, в котором он выписан, имеет хорошо определенные функциональные производные и не требует “улучшения” при ст = 0, п (см. [13, 14]).
12.2.4. Пуанкаре-заряды в гамильтоновом формализме
Исключив производные по времени ХА из выражений для зарядов (12.1.5.4) и (12.1.5.5), получим
Я или 2я
Qa= \ 9>A(o)do, (12.2.4.1)
О
я или 2я
Qab = 4- S a?A(o)XB(<y)-$>B(o)XA(e))do. (12.2.4.2)
о
Скобки Пуассона этих зарядов образуют замкнутую алгебру, соответствующую алгебре Пуанкаре.
Упражнение. Проверьте, что заряды являются калибровочноинвариантными и сохраняются, т. е. [Q, Н]~0 при любом допустимом выборе функций хода и сдвига.
12.3. Более подробное описание алгебры связей
12.3.1. Явные вычисления
Основные результаты канонического формализма можно сформулировать в виде следующих положений:
1. Переменными в гамильтоновом формализме являются координаты струны ХА{а), сопряженные импульсы ^л(а) и лаг-
Струна Намбу — Гото: классический анализ 127
