Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Требование, чтобы первичные связи pN » 0, pN, == 0, р « О' (эквивалентные уравнению (12.2.1.2)) сохранялись во времени, приводит к следующим условиям:
pN ~ О^Ж ~0, (12.2.1.10а)
рЛ1«0=^1~0, (12.2.1.106)
руп ^ 0, других условий нет (Я не содержит Yu)- (12.2.1.1 Ов)
Новые “вторичные” связи Ж = 0 и Ж\— 0 означают просто, что все компоненты тензора энергии-импульса 7'ар(Х) равны нулю (условия (12.1.2.4)). Как и в общей теории относительности, гамильтониан (12.2.1.9) оказывается равным нулю в слабом смысле.
Легко проверить, что Ж и Ж\ коммутируют со всеми первичными Связями. Кроме того, как мы уже указывали и: как мы покажем явными вычислениями в разд. 12.3, они,:
120 Глава 12
удовлетворяют конформной алгебре:
\Ж (a), 38(o')] = (3&1(o) + 3gi(o'))6'(o, а'), (12.2.1.11а)
[Ж(а), Ж1(а')]==(Ж(а) + Ж(а'))д'(а, ст'), (12.2.1.116)
[Жу (ст), Жх (ст')] = (Жх (ст) + Жх (сг'))6' (<*, <*') (12.2.1 .Ub)
(подразумевается, что Хл(ст) и ^(ст7) удовлетворяют каноническим скобкам Пуассона). Следовательно, вторичные связи сохраняются во времени (Ж «0, Жх =» 0). На этом исследование “условий непротиворечивости” закончено. Мы нашли все связи в теории, это связи “первого класса” [11]; множители Лагранжа в выражении (12.2.1.9) не определяются.
Упражнение. Выведите соотношения (12.2.1.6).
12,2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
Связи первого класса в общем случае соответствуют калибровочной инвариантности. В этом разделе это соответствие будет продемонстрировано явно, и мы покажем, что появление неопределенных функций от т в уравнениях Гамильтона связано с возможностью провести произвольные калибровочные преобразования по ходу эволюции системы. В отсутствие условий, фиксирующих калибровку, такой произвол, конечно, должен быть.
Связь р =0, или, точнее, YnPVll =0. генерирует преобразования Вейля канонических переменных. В самом деле, получаем
6уц (о) = [yu (<т), Ц (ст') рп (ст') Yu (<0 da'] = И (сг) Yu (а),
6рИ (о) ——ц (о) рИ (о). (12.2.2.1)
Для остальных канонических переменных у‘ имеем |У. ^ Iх ia') Pn(a')Vn(o')da'] = 0
(где р = рп). Вейлевскими преобразованиями величине Yn можно придать любое (положительное) значение; таким образом, она становится произвольной функцией времени. Это и •объясняет, почему в гамильтониане связь рп=0 умножена на неопределенную функцию.
Пара канонически сопряженных величин (yii.P1-1) не соответствует никакой реальной степени свободы (yu произвольно, р11 должно быть равно нулю). Более того, эта пара не появляется в выражениях для Ж или Ж\. Следовательно, эти вели-
Струна Намбу — Гото: классический анализ
121
чины вместе с лагранжевым множителем р можно просто опустить. Это не приведет к модификации уравнений движения для других вейль-инвариантных переменных.
Остающиеся связи Ж = О, = 0, pN = 0 и pNl = 0 соответствуют другой калибровочной инвариантности струны, а именно репараметризационной инвариантности. Из уравнений
N = X, N' = Xl (12.2.2.2)
следует, что N и N1 являются произвольными, так как их можно изменять как угодно подходящим выбором X и X1. Этого и следовало ожидать, так как функции хода N и сдвига N1 описывают рассечение двумерной поверхности эволюции струны, которое получается при пересечении ее с поверхностями т = const (рис. 12.2). Поскольку это рассечение не является калибровочно-инвариантным в общековариантной теории, функции, которые характеризуют это рассечение, не могут быть определены из уравнений движений.
Кроме того, канонически сопряженные импульсы pN и pN, должны быть равны нулю, поэтому переменные фазового пространства N, pN, N1 и pNl не отвечают никаким физическим степеням свободы. Эта ситуация очень похожа на ту, которая была с переменными уп и Рп- Тем не менее в данном случае нужно сохранить в действии переменные N и N\ так как они играют роль лагранжевых множителей и варьирование по ним приводит к условиям связи на супергамильтониан и суперимпульс Ж — 0 и <3^1 = 0. Следовательно, можно забыть только
о переменных pN, pN„ X и А.1; тогда упрощенное действие принимает вид
5Я [ХА, Рл, N, Nl] = J dx ( J do&AXA — н) , (12.2.2.3)
Н = J do (ЫЖ + ЫХЖХ). (12.2.2.4)
Легко установить, что уравнения движения, полученные из действия (12.2.2.3), полностью эквивалентны уравнениям, которые следуют из действия Намбу — Гото.
Нельзя не указать на параллели между каноническими формулировками двух теорий: струнной модели (с действием
(12.2.2.3)) и теории Эйнштейна (см. работу Хансона и др. [13], а также цитируемую там литературу). В обоих случаях получается, что гамильтониан равен нулю в слабом смысле и имеет структуру (12.2.2.4) с произвольными функциями хода и сдвига. Эти функции умножаются на связи Ж = 0 и ,3^1=0, которые генерируют изменения канонических переменных при произвольных деформациях линии (гиперповерхности) т — const-
