Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
достаточно для того, чтобы действие (12.1.2.1) было экстремальным на классической траектории. Для открытых струн это неверно. В этом случае действие достигает экстремума, только если уравнения движения (12.1.7.1) удовлетворяются вместе с подходящими граничными условиями при о = 0 и л. Эти граничные условия необходимы для того, чтобы нежелательные граничные члены, возникающие в вариации действия S, обращались в нуль.
Пусть Xf (о) и Хг (<т) — две конфигурации открытой струны в моменты времени т, и т2 соответственно. Мы хотим найти экстремум действия в классе всех траекторий струны X4 (т, о), которые начинаются из Xf (о) в момент времени т, и заканчиваются в ХА (о) в момент времени %2- Мы не требуем, чтобы функции ХА (т, о) имели заданные значения на вертикальных линиях 0 = 0 и о = л, следовательно, мы допускаем произвольные значения вариаций бХл(т, 0) и 6Хл(т, я). Две возможные эволюции струны изображены на рис. 12.1.
Причина, по которой мы различаем временные и пространственные границы, заключается в том, что мы рассматриваем
112
Глава 12
Рис. 12.1. В вариационной задаче для открытой струны траектории концов струны ХА(т, 0) и ХА(т, я) также варьируются.
в данном случае струны со свободными концами. Принцип действия должен полностью определять движение струны в будущем, и мы не должны доопределять это движение дополнительной внешней информацией. Чтобы импульс и угловой момент струны сохранялись, необходимо отсутствие взаимодействий с внешним миром через границы.
Мы вычислим вариацию действия для произвольных вариаций полей, удовлетворяющих приведенным выше требованиям. Для простоты возьмем действие в квадратичной форме. Легко найти все члены в вариации действия:
,%г
1
65 =
2яа'
¦Ti
t
+ 2^ J dx \ da W-g ? + У-g r#6gap). (12.1.7.2)
Ti 0
Первый член в правой части равен нулю, так как струна имеет фиксированные конфигурации xf (а) и X2 (ff) при т, и т2. Требуя, чтобы и остальные члены в выражении для 8S были равны нулю для любых допустимых эволюций струны, мы получим не только уравнения движения (12.1.7.1), но также условия
У—g gtadaXA = 0 при ст = 0, я. (12.1.7.3)
Это и есть искомые граничные условия для случая открытых струн. (В случае замкнутых струн, конечно, нет пространственной границы, поэтому не нужно накладывать условия (12.1.7.3), чтобы получить SS=0.)
Струна Намбу —Гото: классический анализ
113
Прежде чем обсуждать геометрический смысл соотношений {12.1.7.3), заметим, что граничные условия являются более фундаментальными, чем уравнения массовой поверхности, как это можно видеть из приведенного выше вывода. В действительности их нужно накладывать даже на поля вне массовой поверхности, чтобы иметь корректную вариационную задачу. В самом деле, для тех полевых траекторий, которые не удовлетворяют условиям (12.1.7.3), действие фактически является “недифференцируемым” в том смысле, что его вариация не представляется в виде двумерного интеграла, содержащего только вариации полей без производных:
(остаются граничные члены при о = 0 и л).
Поскольку мы умеем обращаться только с дифференцируемыми действиями (которые приводят к хорошо определенной канонической структуре), здесь и далее мы ограничимся пространством траекторий открытых струн, удовлетворяющих условиям (12.1.7.3). Как мы уже показали, эти условия являются естественными граничными условиями для данного вариационного принципа, так как они допускают произвольные вариации траекторий концов струны ХА(х, 0) и ХА (т, л) в вариационном принципе.
Геометрический смысл соотношений (12.1.7.3) мы сразу увидим, как только вспомним, что два d-мерных вектора дХА/дх и дХА/да, по предположению, являются линейно независимыми. Другими словами, если некоторая линейная комбинация этих двух векторов равна нулю, то коэффициенты в этой линейной комбинации также должны быть равны нулю. Поэтому условия
(12.1.7.3) эквивалентны условию
V=ig'a = 0, (12.1.7.5)
или, выражая gXa через g-ap,
—j===- = 0 = —1=^. (12.1.7.6)
У—g У—g
Таким образом, мы видим, что gQ0 и goi равны нулю на границах (gap и g по-прежнему остаются ограниченными функциями, как и скалярное произведение Минковского регулярных векторов), т. е. индуцированная метрика оказывается вырожденной в граничных точках струны:
дХА дХА п дХА дХА
114
Глава 12
Более того, gn строго положительно, a gg, должно стремиться! к нулю быстрее, чем g00, поэтому отношения (12.1.7.6) в самом деле равны нулю:
gn>0, (12.1.7.8а>
Soi/Soo^0 ПРИ ®->0, л. (12.1.7.86)
(Если g^ ~g00 или g00 < ggp то g01/V—g не стремится к нулю* в граничных точках.)
