Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
ранжевы множители N(e), Nl(o). Имеют место скобки Пуассона
[ХЛ(ст), ?в (а')] = б?б (а, ст'). (12.3.1.1)
Кроме того, переменные подчиняются граничным условиям
(12.2.3.3) в случае открытых струн и условиям периодичности в случае замкнутых струн.
2. Вся динамика струны содержится в связях
Ж = 4 (2ла + 2±гХ'лХ'л ) - О, (12.3.1.2а) Ж{ = &аХ'а » 0, (12.3.1.26)
которые ограничивают допустимые начальные условия. Гамильтониан теории имеет вид
Н=^й(У {ЫЖ + Ы'Ж^; (12.3.1.3)
юн равен нулю в слабом смысле; Ж (о) генерирует деформации струны Хл(ст), перпендикулярные струне, так как он умножается в выражении (12.3.1.3) на функцию хода; Ж\ (ст) генерирует сдвиги, касательные к струне. Для получения выражений (12.3.1.2) не требуется никакой фиксации калибровки.
3. Скобки Пуассона связей образуют замкнутую алгебру. Эта алгебра эквивалентна конформной алгебре, или “алгебре Вирасоро”:
[Ж (ст), Ж (ст')] = {Ж, (ст) + 36х (ст')) б' (ст, ст'), (12.3.1,4а)
[Ж (а), Ж1(а')] = (Ж(а) + Ж(а'))6'(а, ст'), (12.3.1.46)
[Ж, (ст), Ж, (ст')] = {Ж, (ст) + Жк (ст')) 6' (ст, ст'). (12.3.1.4b)
Вследствие этих соотношений связи оказываются “первого класса” и сохраняются при эволюции во времени.
Явное доказательство соотношений (12.3.1.46) и (12.3.1.4в), которое мы до сих пор откладывали, облегчается, как только мы поймем, что Ж\ (о) генерирует одномерные координатные преобразования ст->-о'=/(ст), т. е.
[р (ст), 5 Мх (ст') g> (ст') da'\ = 2/, (1,2.3.1.5)
где S обозначает оператор дифференцирования Ли. В самом деле, находим, что
[ХА (ст), J Жх (ст') ?' (ст') da'] = I1 (ст) Х'А (ст) = й5*л
128 Глава 12
(X4 — скаляры), а также
[Рл (ст), J Ж, (o') V (a') da'] = (^л)' = S^A
(&А — плотность веса 1).
Отсюда мы получаем
[Ж (о), \>Ml(o')V(<y')do'] = 2^ = (l^)' + l'^ (12.3.1.6а)
(Ж — плотность веса 2) и
\ЖХ (a), J Жх (o') g1 (o') da'] = \ЖХ = (11ЖХ)' + ъхЖх (12.3.1.66)
(<3^1 — ковекторная плотность веса 1). Поскольку соотношения
(12.3.1.6) выполняются для произвольного одномерного векторного поля ^(сг), отсюда легко выводятся скобки Пуассона (12.3.1.46) и (12.3.1.4в).
Что касается скобок Пуассона (12.3.1.4а), то они получаются следующим образом:
\Ж (о), Ж (о')] = -РА (о) Х'А (o') -?г б (о, о') +
+ Х'А(о)!?а( <0^7 6 К о') = (Ж1 (о) + Жх(о'))6'(о, о'), (12.3.1.7) где использованы свойства 6-функции
^ б (о, o') = --^-6 (о, о'), (12.3.1,8а)
F (o') 6' (о, o') = F' (о) б (о, o') + F (о) б' (о, о'). (12.3.1.86)
12.3.2. Условия Вирасоро
Как мы уже показали, алгебра компонент тензора знергии-им-пульса (12.3.1.4) является конформной алгеброй в двух измерениях. Удобно работать в светоподобных координатах, в которых явно видна структура прямой суммы конформной алгебры в двух измерениях. Поэтому введем *)
Q* (а) — 2я (Ж (ст) ± Жх (ст)) = (л/Ж п@А X'AJ ¦
(12.3.2.1)
Так как —бесследовый тензор (в светоподобных координа-
тах это означает, что Г+_ = 0), величины Q+, Q- являются про-
*) Множитель 2я введен в (12.3.2.1) для согласования с общепринятыми обозначениями.
Струна Намбу — Гото: классический анализ 129
сто компонентами Т++ и Т— тензора Та$. Введенные новые генераторы, как и ожидалось, удовлетворяют алгебре
[Q+ (ст), Q+ (0')] = 4л (Q+ (о) + Q+ (o')) fi' (ст, ст'), (12.3.2.2а)
[<2+(<т), Q~(o')] = 0, (12.3.2.26)
[Q~ (<у), Q~ И] = -4я (Q~ (or) + Q- (а')) 6' (ст, ст'). (12.3.2.2в)
Для случая открытых струн переменные можно продолжить на интервал [—л, 0] с помощью правил симметрии, тогда для связей возникают следующие свойства симметрии по отношению к отражению:
Ж{-а) = Эв(а), (- ст) = - ЖЦо), Q+ (- ст) = Q~ (ст).
(12.3.2.3)
Таким образом, одно условие
Q+(CT)=:0, — я<ст<я, (12.3.2.4)
заданное на всем интервале [—л, л], заключает в себе все связи [10].
Удобно ввести генераторы Вирасоро L [/], заданные формулой
Л
= i S f(o)Q+(o)da. (12.3.2.5)
-Л
В частности получаем
tf = L[Ar + W1]. (12.3.2.6)
Генераторы Вирасоро образуют замкнутую алгебру, соответствующую одномерной алгебре диффеоморфизмов:
[L[f], L [g] ] — L [fg' f'g] (12.3.2.7)
(здесь fg' — f'g = вронскиан = одномерная скобка Ли).
