Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Используя соотношения (12.1.6.12) и условие (12.1.6.2) для конформного вектора Киллинга, действительно можно убедиться, что ток /“(I) сохраняется:
Г^);а = °- (12.1.6.13)
Соответствующие заряды определяются выражением
Q(l)=\laT^da^, (12.1.6.14)
где интегрирование ведется по пространственной кривой. Из общих соображений следует, что заряды Q(E), выраженные в виде функций в фазовом пространстве от X и сопряженного импульса, удовлетворяют скобкам Пуассона, соответствующим конформной алгебре:
[Q(I), Q(T|)] = Q(E, л]). (12.1.6.15)
Здесь [?,л] — конформный вектор Киллинга, полученный взятием скобок Ли от векторов g и rj:
[I, ¦пГ = лрСр-?рлУ (12.1.6.16)
Ниже мы явными вычислениями получим соотношение
(12.1.6.15), которое означает просто, что алгебра симметрии реализуется в фазовом пространстве через скобки Пуассона.
Чтобы перейти от соотношения (12.1.6.15) к скобкам Пуассона для компонент тензора энергии-импульса, возьмем кон-
кретный вектор ?“. Например, если в момент времени х° = 0 векторы |а и Tja взять в виде
6°(0, я1) = «(**-а), ?‘(0, jc1) = 0, (12.1.6.17а)
Tj°(0, хх) = б (х1 ~ а'), г)1 (0, *‘) = 0 (12.1.6.176)
(в координатах Минковского), то получим, что заряды сводятся к
Q (I) = То (a), Q (rj) = Го (а'), (12.1.6.18)
и алгебра (12.1.6.15) даст скобки Пуассона [Го(<т), Го(а')]-Чтобы вычислить компоненты скобок Ли (12.1.6.16), нужно проинтегрировать конформные уравнения Киллинга для ga и rf1
110
Глава 12
с приведенными выше начальными условиями (12.1.6.17). Это
дает
(х°, х1) = -J [б (х° + .г1 - ст) + б (х° ~х' + ст)],
, (12.1.6.19)
g1 (х0, х1) = y [б (*0 + — ст) — 6 (*° — *' + <*)]•
Аналогичные выражения получаются и для т]а. (Конечно, основной факт здесь заключается в том, что векторы т]а полностью определяются из начальных условий (12.1.6.17) и конформных уравнений Киллинга. Без этого алгебра (12.1.6.15) была бы бессмысленной, поскольку она связывала бы выражение, хорошо определенное на поверхности х° = 0 (в левой части алгебры) с выражением, содержащим векторы и tj® вне поверхности а'° = 0 (в правой части). Этим свойством конформной группы полная группа диффеоморфизмов не обладает.) Скобки Ли векторов ga и т)“ имеют следующий вид:
[!, лУЧО, х1) = 0,
[I, 'п]1 (0, X1) = —6 {х1 — ст) б' (ал — ст') + б (х1 — ст') б' (х' — ст),
(12.1.6.20)
где штрихом обозначена обычная пространственная производная. Следовательно, скобки Пуассона при совпадающем времени имеют вид
[Г00(ст), Гоо(а')] = (7’01(ст) + Г01(ст'))б'(<т-ог'). (12.1.6.21а)
Аналогично получаем
[Г00 (ст), Тт (ст')] = (Гоо (ст) + Гоо (ст')) б' (ст - ст'), (12.1.6.216)
[Г01(ст), Т01 (ст')] = (Г01 (ст) + Г01 (ст')) б' (ст — ст'). (12.1.6.21в)
На этом мы завершаем вычисления алгебры, которой удовлетворяют компоненты тензора энергии-импульса. Это та же самая конформная алгебра, записанная в базисе “векторов-6-функций”. (Близкие вопросы обсуждаются в работе Фубини и др. [8], а также в цитируемой там литературе.)
Все рассмотренное здесь для случая безмассового скалярного поля остается справедливым и для струны, описываемой d такими полями. Так как конформная группа является теперь подгруппой общей калибровочной группы теории, ее генераторы должны быть равны нулю. Но остается то важное свойство, что компоненты тензора энергии-импульса и в этом случае удовлетворяют конформной алгебре.
Струна Намбу — Гото: классический анализ
111
Упражнения
1а. Покажите, что из (12.1.6.4) следуют соотношения
~0 -yl' -у**' -И 2 ,
Z = eZ , Z = eZ , е = 1,
для инфинитезимальных конформных преобразований х'а = = Za(xv). Выведите, что произвольное конформное преобразование является произведением пространственного отражения 2° — хо> 2} = —х1 и некоторого преобразования, удовлетворяющего условиям псевдо-Коши — Римана.
16. Покажите сходство двумерных переменных светового
конуса и, v, использованных в псевдоконформной группе, и
комплексных переменных z,z = x±iy, применяемых в евклидовой конформной группе.
2а. Покажите, что условие бесследовости Таа = 0 в светоподобных переменных записывается, как Tuv = 0.
26. Покажите, что закон сохранения тензора энергии-им-пульса означает, что Тии является функцией только V, тогда как Tvv является функцией только и: Tuu = Tuu(v), Tvv = Tvv(u).
12.1.7. Граничные условия
В случае замкнутых струн уравнений движения
? Хл = 0, (12.1.7.1а)
7’„pW = 0 (12.1.7.16)
