Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Первое равенство (12.1.7.7) выражает тот факт, что вектор дХА/дх является светоподобным. Второе равенство (12.1.7.7) означает, что вектор дХА/дх также ортогонален пространственному вектору, касательному к мировой поверхности струны. Таким образом, мы видим, что концы струны движутся со скоростью света под прямым углом к струне; траектория струны касательна к изотропным плоскостям в граничных точках.
Нужно отметить, что вырождение метрики в граничных точках на первый взгляд противоречит выбору конформной калибровки (goo = 0, gn=#=0 не согласуется с выбором gap =
— Ф2Ца$)- Но это противоречие не является серьезным; оно обсуждается ниже (противоречие снимается, если использовать подходящим образом выбранные координаты, в которых дХА/до = 0 при а = 0, я).
Физическое объяснение этого особого движения концов струны состоит в следующем. Струна движется свободно, поэтому ее угловой момент (вызванный движением концов струны под прямым углом к струне) должен уравновешивать внутреннее натяжение, которое стремится стянуть ее в точку. С учетом рассмотренных граничных условий эффективное натяжение струны обращается в нуль в точках ст = 0, л [9]. В то же время граничные условия означают, что потоки импульса и углового момента рА и jlAB, заданные выражениями (12.1.5.2) и (12.1.5.3), в граничных точках струны равны нулю, так что все пуанкаре-заряды сохраняются, как и должно быть, если струна действительно движется совершенно свободно.
Упражнения
1. Задачи на вариационный принцип без граничных условий:
а. Рассмотрите скалярное поле X в двумерном плоском пространстве с обычным уравнением Клейна — Гордона. Напишите приведенное действие для конфигураций вида
X (т, о) = а (х) cos 2ст + b (т) sin a, 0 ^ a <1 п.
Струна Намбу — Гото: классический анализ
115
Покажите, что условие экстремума приведенного действия по отношению к а и Ь не приводит к правильным дифференциальным уравнениям.
б. Покажите, что трудность возникает вследствие неравных нулю поверхностных членов.
2. Жестко вращающаяся струна [10]:
а. Покажите, что траектория
Х° = т, X1 = А(а — л/2) cos сот, X2 — А (а — л/2) sin сот, Xs — 0,
где А и со — постоянные, связанные соотношением 1/2пь)Л = 1, является решением классических уравнений движения струны в четырех измерениях.
б. Покажите, что граничные условия также выполняются.
в. Исследуйте светоподобные кривые на мировом листе струны. Вычислите время Минковского, необходимое для того, чтобы световой сигнал с одного конца струны достиг другого конца. Заметим, что это время конечно (даже с учетом вырождения метрики на границах), поэтому концы струны не являются причинно несвязанными с внутренними точками струны.
г. Вычислите сохраняющиеся токи. Покажите, что масса и угловой момент определяются выражениями
М = Лл/4а', J — Л2л2/16а'
и, следовательно,
/ = а'М2
(линейная траектория Редже).
д. Являются ли токи везде времениподобными? Объ-
ясните.
е. Рассмотрите пересечения траектории струны с изотропными плоскостями Х° + X3 = const. Являются ли эти пересечения времениподобными, светоподобными или пространственноподобными?
За. Покажите, что решений уравнений движения и граничных условий в двумерном пространстве Минковского не существует: метрика, индуцированная в граничных точках струны, не может быть вырожденной (необходимо еще одно пространственное направление, вдоль которого двигаются концы струны под прямым углом к струне).
36. Рассмотрите геометрическое значение результата. Покажите, что для вариаций 6ХЛ (т, сг), не исчезающих на границе, не существует способа сделать площадь экстремальной (в двух измерениях).
Зв. Что произойдет, если потребовать, чтобы ХА -f- 6ХД не было пространственноподобным в точках сг = 0, л? Покажите,
116
Глава 12
как можно построить (тривиальную) струнную теорию в двух: измерениях.
Зг. Заключение: струна в двумерном (фоновом) пространстве является плохим примером того, что может быть при; d> 2.
12.2. Гамильтонов формализм
12.2.1. Связи
Вследствие калибровочной инвариантности действия в каноническом формализме появляются связи. Не все импульсы являются независимыми функциями скоростей. Как справиться с этой проблемой, не фиксируя калибровку, было показано Дираком в его работах [11], ставших теперь классическими.
Эта ситуация хорошо известна из электродинамики, где закон Гаусса в каноническом формализме возникает как связь, отвечающая калибровочной инвариантности. Оказывается, что соответствующий этой связи лагранжев множитель совпадает с полем А0, которое в отсутствие калибровки является свободным. Как известно, закон Гаусса играет существенную роль. Он обеспечивает калибровочную инвариантность квантовой теории. Поэтому в любом подходе к квантовой теории этот закон должен включаться тем или иным способом. В противоположность этому калибровочные условия (кулоновская калибровка, временная калибровка, лоренцева калибровка и т. д.) являются менее фундаментальными, так как в их выборе существует произвол. Калибровочные условия можно выбирать разные, а закон Гаусса только один.
