Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Главной целью этого раздела является исследование условий Вирасоро, которые появляются в канонической формулировке струнной теории; мы хотим подчеркнуть, что эти условия аналогичны закону Гаусса и не имеют отношения к калибровочным условиям. Точнее, эти условия следуют непосредственно из репараметризационной инвариантности действия струны. Таким образом, они играют фундаментальную роль в теории. Открытие принципа действия (12.1.1.6), который воспроизводит все условия Вирасоро, было в действительности большим достижением [1, 2, 12].
Чтобы в полной мере показать значение “условий Вирасоро”, нужно сохранить все калибровочные симметрии действия и применить метод Дирака [И, 13]. Так как детальное исследование действия Намбу—Гото в гамильтоновом формализме достаточно хорошо представлено в литературе [10, 13], мы
Струна Намбу — Гото: классический анализ
ИГ
а=const
Рис. 12.2. Вектор д/дх можно разложить по базису {п, д/да}.
возьмем в качестве исходной точки квадратичное действие-(12.1.2.1).
Нетрудно найти канонический импульс
^ = lF--srV:rYY4.U (12.2.1.1).
Уравнения <j>a^ = рар == 0 называются первичными связями. Они являются следствием того, что в действии отсутствует кинетический член для метрики.
Следующий шаг в методе Дирака — получение гамильтониана
Н = J (&ЛХЛ + Ра- 3S) da - J (&>АХЛ - SE) da; (12.2.1.3)
последнее выражение нужно переписать в терминах только канонических переменных. Это нетрудно сделать, так как выражение (12.2.1.3) представляет собой обычный гамильтониан для d скалярных полей на искривленном фоне.
Для упрощения уравнений, а также для того, чтобы воспользоваться вейлевской инвариантностью, компоненты метрики удобно представить в терминах “функции хода” и “функции сдвига” (рис. 12.2). С этой целью разложим вектор д/дх, касательный к кривым а = const (т. е. т-координатным линиям) по» базису (п, д/до). Здесь п — нормированный вектор, перпендику-
¦118
Глава 12
лярный к кривым х = const:
(12.2.1.4)
а д/да— касательный вектор к кривым т = const1).
Функции хода N и сдвига N1 определяются по формулам
где у — детерминант пространственной (одномерной!) метрики 7п, индуцированной на кривых т — const2).
Ниже все величины, не имеющие верхнего индекса (2), мы будем систематически считать одномерными. Например, 7й — обратная величина одномерной метрики: 711 = 1/7х 1; она не должна совпадать, если А4 =й=0, с величиной (2>у11у которая определяется из соотношения (2,7а|37р0 = б" (хотя (2)7п=7и, поэтому для 7ц верхний индекс (2) не нужен). Все величины будут одномерно ковариантными. Напомним, что в одномерии плотность веса один есть ковектор и т. д. (для инфинитезималь-ных координатных преобразований).
Легко вывести следующие полезные соотношения, которые позволяют переходить от (N, N1, 7ц) к 7ар и обратно:
Соотношения (12.2.1.6) означают, что замена переменных 7аN, N\ 711 обратима; таким образом, величины N, N1, 711 можно считать новыми независимыми переменными.
Преимущество использования функции сдвига N (которая имеет вес —1) вместо более привычной функции a = Ny состоит в том, что N является вейль-инвариантной величиной, так же как NK Следовательно, единственная переменная, которая не является вейль-инвариантной, это 7ц, причем предполагается, что она выпадает из окончательных выражений вследствие вейлевской инвариантности.
*) Вектор д/да имеет d пространственно-временных компонент дХА/да; аналогично (д/дт)А = дХА/дх. Отметим, что п, конечно, берется касательным к поверхности, заметаемой струной.
2) Формулы (12.2.1.5) эквивалентны соотношению дХА/дт =N^ynA +
--f- NldXA/do в терминах пространственно-временных компонент.
д/дх = N Vy 11 + Nld/do,
(12.2.1.5)
7оо = — N2y + (N1)2 7ц, Yoi=^'7n. ^1 = YnYoi.
(12.2.1.6а) (12.2.1.66) (12.2.1.6b) (12.2.1.6r) (12.2.1.6д)
AT = (-y“yu)-,/*.
(-<2)Y)‘/2 = iV7,i, Nl
Струна Намбу — Гото: классический анализ 119'
В самом деле, после стандартных преобразований гамильтониан (12.2.1.3) принимает вид
H = \(NM + N'M,)da, (12.2.1.7)-
где
Ж = \ (2+ 2^ Х'АХ'Л) , (12.2.1.8а)
Жх = &АХ'А (Х'А^дХА/до). (12.2.1.86)
Коэффициент Ж перед функцией хода в гамильтониане равен плотности энергии скалярных полей в системе отсчета, движущейся со скоростью п (а именно Ж = уТа$пап&). Эта плотность имеет вес 2 и иногда называется супергамильтонианом по аналогии с гравитацией (обсуждение гамильтоновой формы уравнений Эйнштейна см. в работе [13]).
Функция Ж\ равна л/у Т1апа; иногда ее называют суперимпульсом. Это векторная плотность веса 1.
Уравнения движения по Дираку [11] генерируются полным гамильтонианом, получаемым из Я добавлением к нему первичных связей с лагранжевыми множителями:
HT = H + \(KpN + ^pNl + Vipyi)de. (12.2.1.9).
Чтобы установить, являются ли множители Лагранжа произвольными функциями от а и х или определяются из теории, мы должны теперь исследовать “условия непротиворечивости”.
