Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Л22
Глава 12
Общие черты, присущие и струнной модели, и гравитации, появились не случайно. Они имеют одно и то же происхождение, а именно репараметризационную инвариантность в двух и четырех измерениях.
Наконец, мы должны указать, что в выражении (12.2.2.3) полностью исчезло упоминание о вейлевской инвариантности. Это произошло не потому, что мы фиксировали симметрию Вейля в выражении (12.2.2.3), — мы вообще не накладывали никаких калибровок, — а потому, что мы использовали вейль-инвариантные переменные.
Замечание. Конкретный вид двумерных репараметризаций мировой поверхности струны ХА(х, ст), которые генерируют Ж (о) и Ж\ (ст), построен следующим образом.
Пусть Хл (т, ст) и &А (т, о) задают траекторию в фазовом пространстве. Рассмотрим зависящий от т генератор
Н% [?] = J do {?х (г, ст) Ж (ст) + I1 (т, ст) Жх (ст)}, (12.2.2.5)
действие которого на функции в фазовом пространстве задается скобками Пуассона. Он генерирует канонические преобразования
ЪХА (т, о) = [2яа'?х^4 + Ъ'Х'А] (т, ст), (12.2.2.6а) б3>А (т, ст) = + (?аЪ1)'\ (т, ст). (12.2.2.66)
Преобразование (12.2.2.6а) совпадает с произвольным двумерным диффеоморфизмом при следующих условиях: 1) связано с ХА “первым” уравнением Гамильтона и 2) ^ и выражаются через ^ с помощью разложений I1 = |°Л^1/2 и 'I1 _ |одп _|_ (2>gi (Здесь N и N1 являются функциями канонических переменных, заданными в виде N = (—g00g)~l/2 и Ni = goi\ это легко видеть из связей, которые мы также считаем выполненными.) Перечисленные условия позволяют записать соотношение (12.2.2.6а) в виде
6ХЛ = ^ХА„. (12.2.2.7)
Чтобы соотношение (12.2.2.66) воспроизводило соответствующее изменение импульса &>А, рассматриваемого как функция ХА, нужно предположить, что “второе” уравнение Гамильтона также выполнено.
Таким образом, чтобы отождествить канонические преобразования (12.2.2.6) с двумерными диффеоморфизмами, необходимо переопределить инфинитезимальные параметры, а также использовать уравнения движения. Поэтому нет никакой гаран-
Струна Намбу—Гото: классический анализ 125?
тии, что алгебра генераторов Ж, Ж\ изоморфна алгебре диффеоморфизмов. Действительно, оказывается, что это не так, даже с учетом того, что преобразования, генерируемые выражением (12.2.2.5), замкнуты вне массовой поверхности. (Если число измерений больше двух, то преобразования не замыкаются.)
Но это не мешает нам называть функции Нх [g] генераторами двумерных замен координат, поскольку преобразования
(12.2.2.6) совпадают с (12.2.2.7) на массовой поверхности. Оказывается, что это самый лучший способ, которым можно “представить” группу диффеоморфизмов в канонической формулировке, а следовательно, также в квантовой механике. Аналогичные трудности возникают и в общей теории относительности.
Любопытное свойство двух измерений состоит в том, что подкласс функций (12.2.2.5) с постоянными во времени параметрами 6х(а) и I1 (cr), а именно
Я [I] = J da (I1 (ст) Ж (ст) + 61 (а) Жх (о)), (12.2.2.8)
образует замкнутую алгебру по отношению к одновременным скобкам Пуассона1). Эта алгебра изоморфна двумерной конформной алгебре, т. е. удвоенной алгебре одномерной группы диффеоморфизмов.
В квантовой механике на физические состояния накладываются условия связи
Ж (а) | ф) = Ж\ (ст) |ф) = 0. (12.2.2.9)
В том случае, когда уравнения (12.2.2.9) имеют смысл, а именно, если Ж и Ж\ на квантовом уровне остаются связями первого класса (не возникает аномалии), физические состояния не только инвариантны по отношению к конформной группе (12.2.2.8)
[exp i J da (ст) Ж {а) + g1 (ст) Ж, (ст))] | -ф) = I ф), (12.2.2.10)
но также инвариантны при произвольных заменах координат 6м-(т, ст):
[exp i J da (б1 (т, а)Ж(а) + 1'(х, а) Ж, (ст))] | -ф) = | ф). (12.2.2.11)
Это показывает, как калибровочная инвариантность вводится в квантовую теорию. Мы подчеркиваем, что инвариантность по отношению к произвольным конформным преобразованиям с
*) Это не верно в случае высших размерностей, в которых оказывается,, что структурные “постоянные” зависят от канонических переменных.
Глава 12
параметрами бМа) и приводит к уравнениям (12.2.2.9),
а следовательно, к соотношению (12.2.2.11).
В случае, если в алгебре связей на квантовом уровне появляется аномалия, условия (12.2.2.9) накладывать нельзя. Это означает, что потеряна не только конформная инвариантность, но также и инвариантность относительно произвольных замен координат, поскольку физические состояния не удовлетворяют больше условию (12.2.2.11). Именно Ьта ситуация возникает в теории струн, однако оказывается, что в критической размерности после учета духов инвариантность по отношению к преобразованиям, которые генерируются связями, восстанавливается.
Упражнения
1. Выведите соотношение (12.2.2.3), применяя метод Дирака к действию в форме Намбу — Гото.
