Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
+2/ |a|_l sJTi-?2.
При извлечении квадратных корней выбирается то из значений, где мнимая
часть результата неотрицательна. Система уравнений (3.53), (3.55) имеет и
другие решения, но они не понадобятся иам при построении решений
волнового уравнения.
Для профиля волнового числа k(z) вида (3.54) точные решения в терминах
гипергеометрических функций могут быть получены при произвольных
комплексных значениях z 3, а, М н N. С физической же точки зрения
соответствующие вещественным и мнимым значениям параметров зависимости
k(z) могут отличаться кардинально. Так, при комплексных значениях z3 и
вещественных а волновое число k(z) может обращаться в бесконечность; при
чисто мнимых а зависимость fc-от z становится периодической с периодом
2тг/|д|. Мы проанализируем решения в физически наиболее интересном случае
вещественных а и z 3.
В зависимости от знака а возможны два случая.
61
1) а > 0. Тогда г? 0 при z -* Общее решение уравнения (3.3) в
соответствии с формулами (3.8), (3.10), (3.51) имеет вид
Ф = ехр((7 - \)a(z + Zj)/2) [1 + ехр [a(z + z,)] ] (a+0+i-т)/2/г
(3.57)
где F - общее решение гипергеометрического уравнения. Последнее при I rj|
<1 удобно записать как
F = AF, +BF2. (3.58)
При т? 0, как ясно из формул (3.47), значение F\ стремится к единице, а
f2 = rj,_7[l + О(т?)3- Тогда для вертикальной зависимости звукового поля
в неоднородной среде достаточно далеко от границы получаем
Ф " А ехр [/ у/ко (г + z,)] +В exp [-iy/kl%2 (z +z,)J. (3.59)
Здесь мы воспользовались выражениями (3.56) для ос, 0 и у. При < к\
первое слагаемое в правой части (3.59) соответствует плоской волне,
бегущей из г = -°°. В нашей постановке задачи такая вопна отсутствует.
При > к2 рассматриваемое слагаемое неограниченно возрастает прн
z Следовательно, при любых ? необходимо положить /4=0. Тогда
из формулы (3.57) получаем (с точностью до множителя) поле в ниж-ней
среде:
Ф = const ¦ ед<* -тМ***. У* [I + еа(г+ ** >] ~^2 X
XF(o- 7 + 1, 0-7 + 1, 2<0. (3.60)
Выписанное выражение позволяет вычислить коэффициенты отражения и
прозрачности по формулам (3.5) и (3.6).
2) а < 0. Тогда т? -*¦ ~°° при z -*¦ ¦ В качестве обшего
решения
гипергеометрического уравнения в (3.57) удобно взять
F=AFS+BF6. (3.61)
Из формул (3.49) следует, что при т} -*¦ -00 Fg = т?-01П + 0(ifl)},F6 * =
тГ^П + 0(ri"')]¦ Отбор решения, удовлетворяющего физическим требованиям,
проводится вполне аналогично случаю а > 0. Из условий при z -*¦ -0° имеем
В = 0. В результате для вертикальной зависимости звукового поля в нижней
среде получаем
Ф = сопй ¦ея<7~|"2а><* +*i>/2[l +efl(z+zi)]("+0+1-т)/2 х
XF(a, a-7 + l, й 0 + 1, _e~0<z+z> *), z<0. (3.62)
Выражения для коэффициентов отражения и прозрачности, следующие из формул
(3.60) и (3.62), весьма громоздки. В и. 3.4 мы рассмотрим отражение
плоской волны or слоя Эпштейна при несколько другой постановке задачи.
Именно, будем считать, что волновое число меняется по закону (3.54) во
всей среде, а не Только при z < 0. Несмотря на некоторую потерю общности
(результаты п. 3.4 могут быть получены из приведенных здесь результатов
при р? = р2. = fc0 в пределе z, -* +°°), анализ
отражения от слоя Эпштейна, занимающего всю среду, представляет весьма
большой интерес ввиду простоты и обозримости результатов.
62
Б. Пусть i?(z) = ch 2a(z + z,), а Ф 0. Из формул (3.11), (3.52) тогда
получаем
k2{z) = к%[\ +N sh-2 2a(z + zt) + Л/ch 2a{z + zy) ¦ sh_22<z(z + Zi)].
(3.63)
Параметры k0, N,M можно выразить через величины ККг и равенствами
*i = (364)
Л' = аа[3-8(Х1 -K2+K3)l, M=-ia2(K2 - К, + К,).
Точные решения выражаются через гипергеометрнчеекие" функции для любых
значений частоты и угла падения волны. Профиль (3.63) был предложен
Хедингом [386].
Как и в рассмотренном выше случае слоя Эпштейна, характер зависимости к2
от z- для профиля (3.63) будет качественно различным для вещественных и
комплексных значений параметра а. Так. при чнето мнимых а волновое число
k(z) является периодической функцией, а при вещественных а оно имеет
предел fc(z) при с -- °°. Подробный анализ профилей, принадлежащих
семейству (3.63) и различающихся значениями параметров N,M,Zi проведен в
работе [103, гл. 3].
Когда а вещественно и г5 > 0, k2(z) обращается в бесконечность в
неоднородной среде на горизонте z = - Zj. Ограниченность к2 при всех
значениях z можно обеспечить, взяв Zj комплексным. Так. при cizt =iTil4 +
+ az2 (где z2 вещественно), используя тождества sh(w + /я/2) = ichu, сЬ(м
+ /я/2) ss/shu, нз (3.63) получаем
k2(z) = kl[l - N ch_22a(z + z2) - iM sh 2a(z + z2) ch~22a(z + z2)].
(3.65)
За счет выбора значений K2 и К$ можно обеспечить вещественность
коэффициентов /V и iM в правой части (3.65). Решения уравнения (3.3),
удовлетворяющие физическим требованиям к поведению на бесконечности, для
неоднородного нижнего полупространства вида (3.65) отбираются вполне
аналогично тому, как зто было сделано для профиля Эпштейна, и мы не будем
останавливаться на лом вопросе.
