Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
а решение F2 - ллоской волне, бегущей в сторону отрицательных z.
Используя соотношения (3.57)- (3.59) и (3.50), для звукового поля при z -
>+ со получаем
Звуковое поле (3.73) можно трактовать как суперпозицию падающей
S=2k0/b
(3.69)
/=0,28X"S.
(3.70)
2 (d2 + к/,)=\Л - 4S'M, d,"0.
(3.71)
р = (-1Г"^е,е*
Г(д-Р + 1)Г(1-у)
Г(1-"Г(1 + а-7)
exp(- ik0 cos 60z) +
(3.73)
5. Jl.M. Бреховских
65
(3.66) и отраженной (3.67) волн. Сравнивая коэффициенты перед
соответствующими экспонентами, определяем коэффициент отражения
?= Г(у- 1)Г(1 -0)Г(1 + а- Т)[Г(1 - 7)Г(-г-0)Г(а)]-'. (3.74)
Аналогично, по формулам (3.72) и (3.73) определяем коэффициент
прозрачности слоя
W= Г(1 - (3)Г(1 + а - 7)[Г(а - /3 + 1)Г(1- у)]'1. (3.75)
Таким образом, нам пришлось воспользоваться лишь предельными значениями
гипергеометрических рядов. Мы видим в результате, что коэффициенты
отражения и прозрачности для изолированного слоя Эпштейна, выражаются
через Г-функции - функции одной переменной. Напомним, что в п. 3.3 для
границы слоя Эпштейна с однородной средой получались значительно бопее
громоздкие результаты, содержащие гипергеометриче-скую функцию - функцию
четырех переменных.
Проанализируем формулу (3.74) отдельно для переходного и симметричного
слоев Эпштейна.
А. В случае переходного слоя, т.е..при Af - О, ЫФ 0, из формул (3.56а) и
(3.71) попучаем
dt = 0, d2 = 1/2, e= 1 + 0'5/2)(cosв0 -\Л - JVcosflj),
(3=1+ (i?/2)(cos0o +*\Л - W cosfli), (3.76)
7= 1 + iS cos бо-Выражение (3.74) принимает вид
T(iS cos 0о)Г(- (fS/2)(cosfl0 + \/l ~N cos 0 t)) ^
Г(- iS cos 90)T((iSj2)(cos 60 -y/l - N cos 0i))
Г(1 - (/5/2)(cos0o +>/1 - Afcos0|))
Г(1 + (/5/2)(cos 0O - cos 0j))
(3.77)
Бопее простое соотношение получается для модуля коэффициента отражения р
= | V |. При его выводе мы воспользуемся следующими известными свойствами
Г-функции [240, гп. 6]:
ГООЧ*"]*, (3.78)
Г"Г(1 - w) = ff/sin(irw), (3.79)
Г(1+w) = wT(w). (3.80)
Здесь звездочка означает комплексное сопряжение, w - произвольное
комплексное число. Отметим, что при вещественных а из (3.78) и (3.79)
следует
I Г(/д)Г(1 + ia) I = I Г(- й)Г(1 + ?п)| = 7r/sh(n | а I ).
(3.81)
Необходимо различать два случая: sin2в0 > I -Nn sin20o < 1 - N.
(Для отрицательных значений N всегда выполняется второе неравенство.) В
первом случае cos В\ - М cos 0i I. Тогда числитель и зиамеиатепь в правой
части (3.77) в силу (3.78) являются комппексно-сопряженными вели-
66
чинами. Следовательно, р = 1, т.е. происходит полное отражение волны. Во
втором случае cos 61 - вещественное число. Используя тождество (3.81),
получаем
sh [(тг5/2) | cos 0О - Vl ^ cos 0! | ]
(3.82)
р =
sh[(7rS/2)(cos0o +vl ~ ./Vcosfli)]
Легко видеть, что при cos 01^0 здесь р < 1.
Выше мы отмечали, что 1 ~N~ riL, где л" - показатель преломления среды
вдали от слоя со стороны, противоположной падающей волне (при 2 -*¦ -
<"). Поэтому условие полного отражения можно записать в виде
sin 0О > п". (3.83)
Найдем предел коэффициента отражения (3.77) прн стремлении толщи" ны
переходного слоя S к нулю. При w -> 0 имеем Г(1 + w) ^-Г(1) = 1; в силу
тождества (3.80) T(w) = Г(1 + w)/w= W"1 [1 + 0(h)] . Используя эти
соотношения, из (3.7-7) при S ->0 получаем
V - (cos 0О - у/1 - N cos 0i)(cos 0О + yfl^N cos 0J)-1
- фреиелевский коэффициент отражения на границе однородных сред с
относительным показателем преломления у/ I ~ N = пж. (Напомним, что
плотность слоистой среды мы считаем в п. 3.4 постоянной величиной.)
На рис. 3.7 изображен модуль коэффициента отражения рот переходного слоя
как функция угла падения волны 0Ь для л" = 1,1 и 0,9 при различных
значениях отношения //Хо, где / - эффективная толщина слоя, определяемая
выражением (3 70).Напоминаем, что волна предполагается падающей из
области z = + °°, где п = 1 н длина волны равна Х0. По оси абсцисс на
графиках отложены значения угла падения волны, по осн ординат -
коэффициент отражения, выраженный в децнбеллах. Мы видим, что при
увеличении толщины слоя коэффициент отражения резко падает. Так, в случае
нормального падения при увеличении толщины слоя / от 0,1 Х0 до 5 Х0
40
ВО 80 В0,град 0
'nt' ' l^f
0.5 " / /
1
2
¦ Wtr5 У а
500 -20\qp
Рис. 3.7. Коэффициент отражения звуковой волны от переходного слоя в
зависимости от угла падения для различных толщин слоя: а - приле* = 1,1;
6 - при л<*>3 0,9
5* 67
амплитуда отраженной волны прн л" = 1,1 уменьшается от - 27 дБ (р-s 4-10-
2) до -486дБ(р= 5 • 10-25J. Зависимость коэффициента отражения от угла
падения выражена тем резче, чем больше толщина слоя. При 60-+nJ2 имеем р
-*¦ 1 (lg р-* 0). В случае п= 0,9 при0о > 1,120 (что соответствует 0о >
64° 10 ) имеет место полное отражение волны.
Б. Проанализируем теперь формулу для коэффициента отражения (3.74) в
случае симметричного слоя, задаваемого формулой (3.54а), в которой
принято N = 0, М Ф 0. По обе стороны слоя на достаточном удалении от
плоскости г - 0 значение показателя преломления обращается в единицу, ¦в
