Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
56
Из формул (3,24), (3.31) для у > - 2 находим
Z=2i"ftzi 11 +4г,(-в)1/а1ЬЯ{2|>7).1(2(2+1г)"1г1*1/а)1,Г1* <3*38)
При у <-2 в (3.38) функцию Н ^+7j-t (2(2 +7) _1г1а1/2) следует заменить
на функцию J_(2+7)-" (-2(2 + 7) "'zia1/2). Получаемое прн этом
соотношение, как н (3.38), совпадает с результатами Вэйта (см,
[540, гл. 3, §9]).
Б, Пусть в (3.13) / = ехр(-яг), -л/2 <arg q < л/2. По формулам (3,11),
(3.12а) получаем''решаемый" профиль: "
k2(z) = al + а2 ехр(-лг) +а3ехр(-2лг), (3.39)
для которого можно рассмотреть отражение волн с произвольными значениями
угла паления н частоты. Возможные формы профилей нз семейства
(3.39) иллюстрирует рис. 3.4, где показана зависимость безразмерной
величины к2 ja3 от безразмерной координаты \ а \z.
Когда z -*•-">, имеем /(z) -*•+"', еслн а>0 и f(z) ->0, еслил< 0. Прн
этом согласно формулам (3.5), (3.17) и (3.19), входной импеданс слоистого
полупространства равен
I [-0,5 +,(In W,,"(</))']-, <г>0,
Z=iojp2a{ ,, , (3.40)
I [-0,5+q (In Miim(q))'] l, a< 0.
Входящие в решение (3.40) параметры выражаются через характеризующие
профиль(3.39) постоянные следующим образом:
q - 2у/ -a3la, I = а2/2 йл/^"з, m = a~1yj%2 - "г (3-41)
На возможность выразить решения для среды вида (3.39) через функции
Уиттекера указывали разные авторы [131, 193, 386, 387J. Частный случай а2
= 0, когда решения волнового уравнения выражаются через цилиндрические
функции, для разных сочетаний параметров и а3 подробно рассмотрен в
монографии [540, гл. 3]. Используя выписанные выше формулы (3.31),
связывающие функции Уиттекера с цилиндрическими функциями, нетрудно
установить согласие обшей формулы (3.40) с результатами Вэйта во всех
рассмотренных в [540] случаях. Важным приложением точных решений для
профиля (3.39) при а2 = 0 стало их широкое применение в численных
расчетах для построения решений уравнения (3.3) с произвольной гладкой
зависимостью k{z). При этом среда разбивается на слои, в каждом из
которых функция k(z) аппроксимируется профилем вида
(3.39) (см. [113]).
В. Рассмотренные выше''решаемые" профнлн могут быть довольно
разнообразны. Однако обшей их чертой является наличие в неоднородной
среде не более чем одного экстремума скорости звука. Между тем, иа
практике нередко приходится сталкиваться с распространением волн в
намного более сложных слоистых средах, где может существовать несколько
максимумов и минимумов с(г) и, следовательно, несколько антиволноводов н
волноводов.
Целесообразно поэтому указать еще одии более сложный ''решаемый" профиль.
Он порождается функцией /(z), задаваемой параметрически
57
соотношением /= и2 - 1, z - -Zi + 2(и - arcth u)fb.
(3.42)
Из (3.42) следует, что при изменении z + zt от -00 до функция/(г),
монотонно возрастая при Ъ > О и монотонно убывая при Ь < 0, принимает все
положительные значения; f (z) Ф 0. Профиль k{z) находим по формулам
(3.11), (3.12а) и (3.42):
"Решаемый" профиль (3.43) имеет пять свободных параметров. Формулы
(3.43) и (3.44) свидетельствуют о том, что точные решения можно получить
при произвольном угле падения волны, поскольку в правой части
(3.43) имеется аддитивная произвольная постоянная. Мультипликативной
произвольной постоянной, которая позволила бы во всех точках изменить к2
в одно и то же число раз, в форм>ле (3.43) нет. Следовательно, мы не
можем исследовать зависимость коэффициента отражения от частоты ладдюшей
волны.
Находя предел функции / (3.42) при z ¦+ -<*> и используя формулы (3.5),
(3.17) и (3.19) для входного импеданса нижней среды имеем
Здесь значения f f и f" берутся при г " 0.
На рис. 3.5 представлено несколько типичных зависимостей fc2 (z) из
семейства (3.43). Анализ (3.43) показывает, что при различных значениях
аг н йъ скорость звука в неоднородной среде имеет экстремумы числом от
нуля до трех. В последнем случае волна в ннжней среде может иметь до
четырех горизонтов поворота, т.е. значений z, при которых fc(z) = | и
вертикальная компонента волнового вектора обращается в нуль.
Завершая описание слоисто-неоднородных сред, звуковое поле в которых
можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции, сделаем
одно замечание. Функции Мг т и Wlfin прн определенных соотношениях между
своими индексами I и т содержат в качестве частных случаев ряд других
специальных функций. Переход к более простым функциям осуществляется за
счет некоторого уменьшения числа свободных параметров в выражении для
''решаемого" профиля fc(z). Особый интерес блаюдаря значительному
упрощению вычислений представляют те сочетания индексов I и т, при
которых М} т или сводятся к элементарным функциям. Отметим несколько
таких случаев, используя результаты, собранные в гл. 13 книги [МО].
Волновое поле в неоднородной среде выражается через функцию (<?/)>
если/(z) ->0 ирнг -"•-оо функцияMifm является элементарной
k2(z) = ахЬ2 - Ь2{и4 +а3 +6о2ц"2 - 5д3м 4)/д2, (3.43)
гДе aj О * 1> 2, 3) - произвольные постоянные. Они связаны с параметрами
