Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальное уравнение Матье [ 131 ], для которого
g(ji) = асоь2г\ + Ь. (3.129)
Отметим, однако, что все сказанное выше относится к задаче об определении
коэффициента отражения при произвольных значениях угла падения в и
частоты со. С другой стороны, как мы уже отмечали, решения для
фиксированных значений в и со легко могут быть получены для
неограниченного числа профилей при помощи соотношения (3.11).
Промежуточной по сложности и физическому интересу является задача
построения профилей, ''решаемых" при произвольной частоте волны, но для
фиксированного угла падения. Простой и эффективный метод ее решения
предложен Абрахамом и Мозесом [278]. В рамках нашего подхода этот метод
сводится к установлению в (3.11) определенной связи функций g(rj) и
i?(z), которые раньше мы выбирали независимо.
Пусть для какой-либо функции gi(rj) и произвольного значения q известна
фундаментальная система решений опорного уравнения
Обозначим через и"(ц) какое-либо нетривиальное вещественное решение
уравнения (3.130) при <7 = 0. Для построения ''решаемых" (в терминах
функций W(ц, q)) профилей выберем замену переменной так:
Ясно, что г(ц) - монотонно убывающая функция. Поэтому заведомо существует
обратная ей функция ц(z), необходимая для построения решений волнового
уравнения (3.3) в терминах W(q, q). Иэ (3.131) следует
Вычисляя при помощи этого соотношения входящие в (3.11) производные,
находим ''решаемый" профиль
Учитывая теперь, что w(rj) удовлетворяет уравнению (3.130) при q = О,
получаем окончательно для случая нормального падения (? = 0):
дц:
э2 -г W(v,q)+ [q +Si0?)]^0?,<7) = 0.
(3.130)
z(т?) = - fw 2(r}')dn, i?o = const. 4o
(3.131)
(3.132)
k2(z) = w3(4)w"0?) + w40?)[<72 +?i0?)] +?2.
(3.133)
k(z)=qw2(v).
(3.134)
It
Профиль (3.134) имеет мультипликативную постоянную q, что и позволяет
рассматривать отражение волн с произвольной частотой. Фактически
зависимость волнового числа от вертикальной координаты z задается
параметрически (к = k(q), г = z (г?)) равенствами (3.134) и (3.131).
Ввиду сложного способа задания профиля k(z) интерес представляют лишь те
g\ (tj), для которых w(q) являются элементарными функциями.
•Рассмотрим пример. Пусть
ii(v) = -b2, b = const>0. (3.135)
Тогда решения W (q, q) являются линейными комбинациями экспонент ехр(±-
\Д2 - q2T})- Функцию w запишем в виде
w=Aex'p(-bq) + Bexp(bq). (3.136)
Выполняя интегрирование в (3.131), находим 1 - ехр(2bq)
z+Zi = --------------------------, Z!=const<0. (3.137)
2Ь(А +Д)И + Дехр(26т?)]
'Тешаемый" профиль дается формулами (3.134) и (3.136), причем формула
(3.137) позволяет выразить q, а следовательно, и к, через гявно:
к = -4qAB^
2ABb(z +zt) +
А - В А +В
2 ч-1
1 , z < 0. (3.138)
Заметим,- что при А > -В > 0 волновое число ограничено во всей нижней
среде; при z -*¦ имеем k(z) -*¦ 0.
Для определения коэффициента отражения плоской волны, нормально падающей
на слоистое полупространство с волновым числом (3.138), необходимо
выбрать решение W(q, q) опорного уравнения (3.130), дающее правильное
поведение звукового поля при z -*¦ т.е. при г? -*-г?о (см. (3.137)):
т)0 = {2ЪУ'Ы(-А1В). (3.139)
Вертикальная зависимость звукового поля, согласно формулам (3.8), (3.10),
(3.131), выражается через решение опорного уравнения следующим образом
Ф(г) = W(q,q)lw(q). (3.140)
Поскольку w(rj0) = 0, то из условия ограниченности звукового поля следует
W(rj0, q) = 0, что с точностью до постоянного множителя определяет
соответствующее решение опорного уравнения (3.130), (3.135). После
простых преобразований получаем
Ф(г) = const • sh(vV - q2 (q - r?o))/sh(6(r? - rj0)). (3.141)
Теперь коэффициент отражения V легко получить из соотношения (3.5),
используя выражения (3.132) и (3.137), связывающие переменные q и z и
производные по этим переменным. Формулу для V мы приводить здесь не
будем.
В работе [278] даны два других примера профилей к (z), допускающих точные
решения при произвольной частоте нормально падающей волны.
79
Эти профили задаются параметрически. В первом случае
fc(i7')=<7Cth2a -th2(fli7+a),
. , (3.142)
z(rj) = -т? th а + a th2 a[cth(ai7 + a) - ctha],
где а и a - положительные постоянные, а параметр rj пробегает все
неотрицательные значения. В тех же обозначениях во втором случае
k(rj) = qth2a • cth2(ат? + a), (3.142а)
z(r?)= -rjcth2a + a_1cth2a [th(flr? + a) - tha].
Профиль (3.142) дает монотонное возрастание скорости звука от предельного
значения сoq~l th2a при z -*¦ до сoq'1 при z = 0. В случае (3.142а)
скорость звука монотонно убывает от значения co<7-1cth2a при z -*¦ до
значения сoq'1 при z = 0. Для поля в слоистом полупространстве вида
(3.142) и (3.142а) и коэффициентов отражения в работе [278] получены
громоздкие, но содержащие только элементарные функции выражения. Отметим,
что совершенно аналогично случаям (3.142) и (3.142а) могут быть
рассмотрены и несколько более общие зависимости k(z), отличающиеся от
приведенных выше сдвигом начала отсчета координаты z, который приводит к
