Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Полезно также выписать значения нулей и (Г) и v'(t) , которые все лежат
при t < 0. Обозначим v(-y,) = 0, v'(-X/) = 0 (где /=1,2,-..) и упорядочим
значения yt и xt в порядке возрастания. Значения нулей v(t) и и'(О
задаются следующим образом:
/ 1 2 3 4 5
у, 2,33811 4,08795 5,52056 6,78671 7,94417
х, 1,01879 3,24820 4,82010 6,16331 7,37218
Обозначим
у, = (1,5 и-,)2'3, *, = (1,5и02'3. (3.111)
Тогда w, и w\ приближенно (хотя и весьма точно даже при небольших /)
можно записать с помощью равенств
0,0884194 0,08328 0,4065
41- 1 ~ (4/ - I)3 (4/- I)5 "
0,1237872 0,07758 0,3890 (3.112)
+ - + ...
4/ - 3 (4/-3V (4/ - З)5
Из второго из равенств (3.105), следует, что функция Ф(г) имеет нули t,
(где / = 1, 2, 3, . . .) которые лежат на луче argf = л/3 и выражаются
через у, формулой
7/ = У/ехрО'л/3). (3.113)
Аналогично, на том же луче функция Ф'(7) обращается в нуль в точках
tj = Хуехр(/'л/3). (3.114)
Функция u(t) и ёе производная имеют нули на отрицательной части
действительной оси t, а также в секторах л/3 < argt < л/2 и -л/2 < argf<
-л/3.
Подробные таблицы функций Эйри и связанных с ними величин можно найти в
книгах [234, 240, 262]. В справочнике [240], как и в ряде других работ,
вместо введенных В.А. Фоком обозначений и и и для функций Эйри
используются символы
Ai(0 = Jr"1/2u(0. В1(0 = я'1/2м(0. (3.115)
Вернемся к анализу отражения плоской волны от слоистого полупространства
с волновым числом вида (3.95). Сначала будем считать, что показатель
преломления убывает при удалении от границы. Этот случай
соответствует верхним знакам в (3.95) и (3.97). Общее
решение уравнения (3.96)
имеет вид Ф = Au{t) + Bv(t). Из требования ограниченности поля при z -*¦
°° и с учетом (3.107) получаем А = 0. Тогда формула (3.5) дает
коэффициент отражения
И"-И'о)-М- v(t0)]l[v(t0) + id- п(Г0)Ь (3.116)
где
d - k\HcosO (Р2/Р1) (3.117)
- вещественное число, а в - угол падения плоской волны в однородном
полупространстве. Тот же результат следует из формул п. 3.2 (см. (3.24)
74
и (3.33)), где в принятых здесь обозначениях
<7 = (4/3)/Г3/2, Zt*Ht0. (3.118)
Когда плотности обоих полупространств равны, а скорость звука непрерывна
на границе, т.е. Л1 = к0, из (3.97) имеем
t0=-kZH2cos26<0, d = vcТо- (3.119)
Учитьшая вещественность функции Эйри v(t) при вещественных значениях
аргумента, выражение (3.116) для V можно переписать в виде
V- expOV), <р= -я - 2arctg[du(f0)/u'(f0)]. (3.120)
Отсюда видно, что мы имеем полное отражение от полупространства, a ip
является фазой коэффициента отражения. Ниже, в гл. 2 мы покажем, что при
-10 > 1 фаза <р может быть получена и в приближении геометрической
оптики, если только учесть добавочную потерю фазы волны я/2 в точке
поворота z = zm, где
t= 0, k$azm=%2 -к%, zm< 0. (3.121)
В точке поворота луч, соответствующий плоской волне, направлен
горизонтально (параллельно границе z = 0).
Характер поля до плоскости поворота и за ней совершенно различен. В
случае zm < z < 0 зависимость звукового давления от z имеет осциллирующий
характер (область t < 0 на рис. 3.9). Размах осцилляций возрастает при
приближении к плоскости z =zm. При z <zm поле монотонно убывает.
Максимальное значение амплитуды звукового давления достигается при z > zm
на горизонте, где t = -хх.
Перейдем к случаю возрастания показателя преломления при удалении от
границы. Теперь в формулах (3.95) и (3.97) нужно брать нижние знаки. Для
выбора решения уравнения Эйри, удовлетворяющего условиям на
бесконечности, воспользуемся принципом предельного поглощения. Из формул
(3.108) следует, что при введении малого поглощения (т.е. при замене к0
на fc0(l + /17), 0 < т? < 1) только решение Ф = А [м(0 + fv(t)] стремится
к нулю при z -"¦-">. Тогда при помощи (3.5) находим коэффициент отражения
V = [d(u + /и) - i(u' + iV)] [</(и + iv) + i(u' + iV)]-1. (3.122)
Значения функций Эйри и их производных берутся здесь в точке t = t0-При
учете предпоследнего соотношения в (3.105) тот же результат получается из
формул п. 3.2 (см. (3.24) и (3.33)), где в рассматриваемом случае q = -
1(4/3)/Г3/2, г, = -Ht0. (3.118а)
Отметим, что при скользящем падении (в -*¦ я/2) имеем d-^Ои V-*- - I.
Полезно проанализировать соотношение (3.122) в трех крайних случаях.
1) Uo I ^ 1 ¦ Этот случай, как видно из (3.97), реализуется при
больших градиентах скорости звука (а/ко ^ 1) или при значениях угла
падения 9, близких к 0J, где вг = arcsin(&0/&,). Здесь целесообразно
воспользоваться разложениями функций Эйри по степеням.аргумента. Согласно
(3.101) имеем
и(*о) + /и(*о) = Ф('о) = Ф(0) + to ¦ Ф'(0) + 0(tl), и'(f0) + iv'(to) в
Ф'(0) + 0(t%).
75
Учитывая значения Ф(0), Ф'(0) и t0, получаем из (3.122) (с точностью до
членов порядка ?о)
1 + В
V= В =
1 - ще - *0 )(я*о У2'3 1.
1 + В2 J
1 -В
esnt/6 г(1/3) (3.123)
31/э</ Г(2/3)
Если скорость звука непрерывна во всей среде, а плотность постоянна, то
при 110 i 1 обязательно | d | < 1, и предельное выражение (3.123) для
коэффициента отражения можно упростить далее:
