Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Уиттекера, причем для уравнения (3.180), согласно последнему из
соотношений (3.35), индекс т функций Уиттекера равен ± 3/4. В этом
частном случае функции Уиттекера сводятся к.функциям параболического
цилиндра. В § 9 мы подробно проанализируем решения уравнения (3.180), в
том числе в
[/ 2z2 \ 4z2
(3.176а)
у0-Ь+ az.
В этом случае
/3 = aj(zj - z), aj =taju>, z, =z,(w,?) = (w-?*)/?<*, и уравнение
(3'.174) принимает вид
(3.178)
(3.179)
(3.180)
86
Рис. 3.10. Распределение скорости течения и" (z) (о) и соответствующий
профиль показателя преломления п (г) (б) в неотражающей среде: 1 -
отражение отсутствует при угле падения 0О = я/6; 2 - то же при в0 =я/3
Рис. 3.11. Вертикальные зависимости проекций на оси Ох и Оу скорости
течения v0 (3.183), допускающей точные решения волнового уравнения в
однородной среде, при различных значениях свободных параметров. Для
каждой из проекций на координатные оси может быть выбрана независимо
любая из этих трех кривых
условиях резонансного взаимодействия звука с потоком, которое имеет место
при 21 < 0.
В важном частном случае течений, медленных по сравнению со скоростью
звука (Ivol^c), уравнение (3.174) можно упростить, отбросив квадратичные
по v0 члены и члены более высокого порядка. Будем для простоты считать
также плотность постоянной. Тогда получаем
[(1 - т)_1Ф] " + (Л2 - 2к?т - т" - ?2)[(1 - т)~*Ф] = 0, (3.181)
где
т = 1 - 0 = ?vo(z)/w. (3.182)
Уравнение (3.181) широко применяется для исследования распространения
звука в атмосфере [104, 273], поскольку для ветра условие малости числа
Маха VqIc всегда хорошо выполняется (и0/с<С 5 ¦ 10-2). Задача отыскания
профилей и0 (г), приводящих при произвольных ш и ( к точным решениям
уравнения (3.181), является более сложной, чем отыскание ''решаемых"
профилей k(z) для уравнения (3.3), поскольку в уравнение
(3.181) наряду с m(z) входит m"(z). Испытывая функции m(z) со 1с1 (z),
где в качестве fc2 (z) берутся найденные в п.п. 3.2 и 3.3 ''решаемые"
профили для уравнения (3.3), можно найти точные решения для двух семейств
87
зависимостей v0 (z):
Vo(2) = flj (z+z,)2 +a2(z+21) + e3
(3.183)
и
v0(^) ~Qi exp(2az)+a2exp(az)+a3. (3.184)
Здесь aj (где / = 1, 2, 3) - произвольные горизонтальные векторы, zt и а
- скалярные постоянные. Возможные вертикальные зависимости проекции
вектора v0, заданного формулой (3.183), на произвольное горизонтальное
направление показаны на рис. 3.11. Зависимость проекций v0 (3.184) от z
формально совпадает с функцией к2 (z) (3.35). Поэтому рис. 3.3 может
служить иллюстрацией форм профилей (v0)* и (у0)у, получающихся при
различных значениях параметров а/ и а. Для профилей течения (3.183)
решения уравнения (3.181) выражаются через функции параболического
цилиндра, если =?0, и через функции Эйри, если fflj = 0. (В последнем
случае, как отмечалось выше, удается найти и решения точного уравнения
(3.180).) В однородной среде с течением (3.184) решения волнового
уравнения выражаются через функции Уиттекера
wi,n НМ,, м. В частном случае ?д2 = 0, когда они сводятся
к функциям
Бесселя, звуковое поле исследовано в работе [273]. В слоистых средах с
медленными течениями (3.183) и (3.184) решения волнового уравнения в
известных специальных функциях можно получить [94] для ряда других
стратификаций скорости звука и плотности среды, кроме случая c(z) = const
и p(z) = const. Мы на этом останавливаться не будем.
Профили течения (3.183), (3.184), для которых звуковое поле удается найти
точно (в указанном выше смысле), можно было получить также, исходя из
волнового уравнения в форме (1.45). Сохраняя в (1.45) только линейные по
т (т.е. по скорости течения) члены, получаем
с*2Ф/с?Г2 + [Л2 - %2 +2т(к2 -2%2)] Ф=0. (3.185)
Плотность среды для простоты мы считаем постоянной. Квадрат эффективного
волнового числа в уравнении (3.185), в отличие от уравнения
(3.182), содержит только т, но не т". Однако координата
Z Z
f =/( 1 - П2(z!))2dz! =z -2/ m(zl)dz1 + 0(т2) (3.186)
о о
зависит от горизонтального волнового вектора ? и скорости течения. Это
затрудняет поиск ''решаемых" профилей v0(z), пригодных при любых ?.
В уравнении (3.185) слагаемое 2т(к2 - 2?2) мало по сравнению с к2 - - ?2
в коэффициенте при Ф. Кроме того, принг 1 f(z) мало отличается от z.
Поэтому замена m(z (f)) на w(f) в (3.185) внесет не слишком большую
погрешность, которая при определенных условиях будет того же порядка, что
и отброшенные члены порядка 0(ni2). Тогда на случай движущейся однородной
среды можно перенести все пригодные при любых со и % точные решения,
найденные в п.п. 3.2 и 3.3 для неподвижной слоистой среды с постоянной
плотностью. Действительно, пусть для любых значений bi и Ь2 известно
общее решение 2
Ф= 2 Aj ФДй1( bi, z) (3.187)
/'= i
88
уравнения
d2Ф/dz2 + [blg(z) + b2] Ф = 0. • (3.188)
Тогда для слоистого течения
v0(z) = ag(z), а= const, (3.189)
воднородной жидкости уравнение (3.191) имеет общее решение
Ф= 1 А,Ф,Ша{к2 -2? )/со, *?-?,№), (3-190)
