Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Мы рассмотрели для гииергеометрического уравнения только два вида замен
независимой переменной. Существуют и некоторые другие функции p(z),
приводящие к профилям k2(z), дотекающим точные решения при произвольных
углах падения и частоте плоской волны. Несколько таких замен указано,
например, в работе {103, гл. 3]. Однако никаких новых профилей по
сравнению с семействами (3.54) и (3.63) другие замены переменной (нз
числа исследованных в литературе) не дают.
Отметим, что хотя рассмотренные выше семейства решаемых профилей (3.23),
(3.39). (3.43), (3.54) и (3.63) не сводятся одно к другому, оии имеют ряд
общих частных случаев. Например, профиль вида Л2(с) = = А + Bch~2b(z +
z0) содержится н в соотношении (3.54) (при к% - А, N= 0, М= - В, а ~ 2b,
z, = z0), и в соотношении (3.65) (при к\-А,Ы--В, М= 0 ,а = bil,z2 =z0).
3.4. Отражение плоской волны от слоя Эпштейна. Будем рассматривать
слоисто-неоднородную среду, распределение скорости звука в которой
63
таково, что квадрат волнового числа задается формулой (3.54) при -°°< < z
< +<" и вещественном значении а. Плотность среды считаем постоянной.
Положим г, = 0. а = - Ь < 0. В неограниченной среде зги предположения не
уменьшают обшиости, а сводятся к выбору начала отсчета иа оси г иупрощают
обозначения. Формула (3.54) принимает вид
k2(z)jkl = I -A'e'i7(I +e~b2)'1 - 4Ме~Ьг(1 + е'*г)"2. (3.54а)
При больших значениях ] г | волновое число выходит иа постоянные
значения: к2 -"¦ Л? при z -* +°° и Л2 - N) при г -> -<". Таким образом,
неоднородность среды сосредоточена фактически в некотором слое в
окрестиосги z = 0, причем с ростом I z | отличия скорости звука в среде
от постоянного значения экспоненциально убывают. Это позволяет
сформулировать задачу отражения плоской волиы, ие Дополняя слоистую среду
однородным полупространством.
Будем считать, что при z +" задана плоская падающая волна единичной
амплитуды
Pi - ехр[/(?х - k0z cos 0О)]> sm6o=^o. (3.66)
здесь 0О - угол падения волны. Наличие неоднородного слоя приводит
к появлению при z -*¦ + 00 отраженной волиы
рт = Кехр[/(?х + k0z cos 0О )J • (3.67)
При г -*¦ - 00 имеем прошедшую плоскую волну
р = №expLi'(?x - kiz cos 0j)], кх = к0 у/1 - JV. (3.68)
где - угол преломления. Углы падения и преломления связаны законом
Снелля: ко sin в0 = кj sin вх. Задача состоит в определении коэффициентов
отражения и прозрачности V и IV.
На рис. 3.6 графически изображен квадрат показателя преломления среды п2
= k2(z)fkl как функцияz для двух случаев:М = 0,А'Ф ОиМФО, N= 0. Мы видим,
что в первом случае формула (3.54а) описывает ''переходный" слой, в
котором показатель преломления от значения п = 1 при больших
положительных г, плавно изменяясь, переходит к значению п ~ п", -
= y/"l - N при больших отрицательных значениях z. Во втором же случае мы
получаем "симмет-ричный" слой, в котором показатель преломления является
четной функцией z. При этом он обращается в единицу при больших удалениях
от средней плоскости z = 0 и имеет наибольшее отклонение от единицы при z
- 0, гпе и2 s 1 - Af. По оси абсцисс на рис. 3.6 оказалось удобным
откладывать ие ве-
Рис. 3.6. Формы переходного (/) и
0 0/ 0,6 п2 симметричного (2) слоев Эпштейна
64
личину и2, а величину п2, равную (1 - и2)/Л" для переходного слоям (1 -
п2)1М - для симметричного слоя.
11о оси ординат откладывается комбинация zjS А0 = frz/4rr, где безмерная
величина
обычно называется относительной толщиной слоя. Простые расчеты
показывают, что в случае симметричного слоя его эффективная толщина
(определяемая как расстояние по оси z между точками по обе стороны от
середины слоя, в которых 1 -пг равно половине значения этой величины в
максимуме, т.е. прн 2=0), оказывается равной
Для перех одного слоя / соответствует расстоянию по оси z между точками,
где 1 - п2 = qN и 1 - п2 = q~1Nnpn q = 0,85.
Формулы (3.56) выражают параметры гнпергеометрического уравнения через
характеристики неоднородного слоя и падающей волны. В обозначениях п. 3.4
эти формулы принимают вид
а = 1/2 + d2 + idi + (('5'/2)(cos 0О - л/1 - Jv cos# j),
0 = Ijl+di + id\ + (iSf2)(cos0o + у/1 - N cos0j), (3.56a)
7=1 + iS cos 0O -
Здесь вещественные числа dx и d2 определены равенством
Как мы виделн в п. 3.3 (см. формулы (3.61), (3.62)), в качестве решения
гипергеОметрического уравнения для удовлетворения физическим требованиям
следует взять функцию Fs, определенную соотношением (3.49а). Тогда прн
больших отрицательных г, учитывая равенства (3.56а), имеем
р = (- 1)~ат4 exp(i$x - ikiz cos0i), А = const. (3.72)
При положительных значениях z, когда | т?| <1, решение Fs переходит в
линейную комбинацию решений Fi н F2, коэффициенты которой приведены в
формуле (3.50). Это позволяет легко проанализировать асимптотическое
поведение решения волнового уравнения прн z -> + °(r). Оказывается (см.
формулы (3.58), (3.59)), что прн больших положительных z решение F]
соответствует плоской волне, бегущей в сторону положительных значений z,
