Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
середине слоя отпичне п от единицы максимально: л2(0) s "о * 1 ~ М.
Полагая в формулах (3.56а) cos 0, = cos подставляя получающиеся значения
a J н ) в выражение (3.74) и используя тождество (3.79)* для коэффициента
отражения получаем
r(/Scos0o)
у= -ГГ 009 !"(<*, + й*)1 X
7ГГ(- iS COS0o)
X г(- - d2 - idi - i^cosflo^r^- + d2 + idi - iScos6o
(3.84)
Отметим, что коэффициент отражения волны, нормально падающей на
симметричный спой толщины S0 с некоторым значением М = Л/о, равен
коэффициенту отражения плоской волиы с углом падения 0О от слоя со
значениями параметров М == Л/0 cos20o, S = S0Jcos во. Действительно, при
такой замене М и 5 согласно формуле (3.71) параметры S cos 0о> dt н d2>
входящие в соотношение (3.84), остаются неизменными.
Рассмотрим отдельно два случая.
В случае, когда 4S2M > 1, согласно (3.71) имеем d3 - 0, 2dt *
= y/4S2M -1. Для модуля коэффициента отражения при этом можно легко
получить выражение в элементарных функциях, если использовать следствие
тождеств (3.78) и (3.79):
I Г{1 - Ь + ia)T(h + id) I = it [ sin n(b + id) Г1 = 7г[сЬгтга -
cosairft]-1^,
(3-85)
где а и 6 вещественны. Из формул (3.84) и (3.85) для квадрата модуля
коэффициента отражения имеем
р2 = ch2ndi [ch ?r(dj + S cos 0O) ch n(dx - Scos 0O)]_1. (3.86)
В случае, когда 4S2M < 1, из (3.71) получаем d\ =¦ 0, 2d2 = Vl -&S2M.
Тогда из (3.84) и (3.85) следует, что
р2 = cos2 лd2 fch2(ff5cos0o) - cos2?^]'1. (3.87)
При M -> 0 слой исчезает, среда становится однородной. При этом мы имеем
d2 -* 1/2 и согласно (3.87) р -> 0, чего и нужно было ожидать. Заметим,
что если в слое скорость звука меньше, чем в среде по обе стороны от
слоя, т.е. по > 1, то М будет отрицательной величиной н при любой толщине
слоя S модуль коэффициента отражения будет задан формулой (3.87). Когда
толщина слоя стремится к бесконечности, эта формула дает р -> О, т.е.
отражение исчезает (поскольку градиент показателя преломления стремится к
нулю).
68
Несколько сложнее обстоит дело с предельным переходом S ¦+ в случае,
когда "о < 1, т.е если скорость в слое больше, чем в прилегающих к нему
средах. Здесь М > 0, и при достаточно большой толщине слоя S мы должны
пользоваться формулой (3.86). При этом в свою очередь нужно различат^ два
случая:
1) dt >5cos0o; 2)di <Scos0o- (3.8Й)
В первом случае, фиксируя М и устремляя S к бесконечности, имеем
d,*>SMm = Sy/l - "о, (3.89)
chndt ^O.Sexpud,,
chtr(di ±Scos0o)a8O"5exp[ff(di ±Scos0<>)b
В результате из (3.86) получаем р -*¦ 1, т.е. имеет место полное
отражение. Во втором случае имеем
ch?r(dt -5cos0o)"O,5exp[ff(5cos0o -di)J.
В результате при S формула (3.86) дает экспоненциальное убывание
коэффициента отражения с ростом толщины слоя, а также частоты волны:
р ~ exp[-2tfS(cose0 ~\[\ -"?)]. (3.91)
Заметим, что с учетом (3.89) условия (3.88) можно записать соответственно
в виде:
l)sm0o>no; 2)sm0o<no-
Как нетрудно видеть, лервое из этих условий означает, что пуч,
соответствующий плоской падающей волне, вследствие рефракции заворачивает
в слое и возвращается обратно в ту же среду, из которой падает вопиа.
Проникновение волиы через слой осуществляется только благодаря
туннельному эффекту, аналогичному просачиванию частицы через
потенциальный барьер в квантовой механике. При увеличении толщины слоя
такое просачивание ослабляется, и мы получаем лолное отражение.
Интересно отметить, что при падении под углом sin0o = п0, когда луч
заворачивает при z - 0 и топщииа ''барьера'' становится нулевой, из
формулы (3.86) при S -*¦ 00 имеемр2 -> 1/2 (поскольку chir^ - 5cos0o) -*¦
1), т.е. отражается половина энергии падающей волны.
На рис. 3.8 значение - 20lgр изображено графически как функция угла
падения 0О для различных значений эффективной толщины слоя /,
определенной соотношением (3.70), при н0 - 0,9 и 1,1.
Мы не занимались анализом коэффициента прозрачности W слоя. Обычно в этом
нет необходимости, поскольку в большинстве случаев представляет интерес
лишь величина | ИМ2, которая после определения р может быть попучеиа из
закона сохранения энергии. Так. для симметричного слоя
I ИМ2 = 1 ~р2.
Одии случай, тем не менее, заслуживает специального обсуждения. Определим
коэффициент прозрачности симметричного слоя при М > 0, т.е. когда
скорость звука в слое больше, чем в прилегающих к нему средах, и при
достаточно больших углах падения, когда происходит просачивание волиы
через опой. Если 4S2M>1, то согласно (3.71) = 0" 2di ~
49
Рис. 3.8. Коэффициент отражения волны от симметричного слоя в зависимости
от угла падения для различных толщин слоя: с - при л0 " 0,9; 6 ~ при л9 =
1,1
~y/4S2M - Т. Из формул (3.56а), (3.75) имеем
W- Г(0,5 - iScos$0 - jfrf! )Г(0,5 - i'Scos0o + idx) X
X [Г(1 -/Scos0o)r(-/Scos0o)]_1- (3.92)
Используя тождество (3.85), получаем простое выражение для модуля
коэффициента прозрачности:
| W |2 - sh2(7r5cos0o)[ch7r(^i + Scos0o)chn(J1 - Scosflo)]'1- (3.93)
Легко проверить, что в сумме с величиной р2, определенной но формуле
