Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(3.86), значение | W I2 дает единицу, как и должно быть. При большой
толщине слоя (S.-* °°), используя предельные выражения типа (3.90),
получаем
il, sin0о <"о.
exp[-2i75(Vl - nj - cos0o)], sin0Q>no, (3-94)
1/2, sin0o-HO-
Мы видим, что когда луч, соответствующий плоской волне, ие проникает в
область отрицательных значений г, коэффициент прозрачности
экспоненциально спадает при увеличении толщины слоя или частоты волиы.
3.5. Отражение плоской волны от полупространства с линейным законом для
квадрата показателя преломления. Среди профилей волнового числа,
допускающих явные решения задачи об определении коэффициента отражения от
полупространства в терминах вырожденных гипергеометричес-ких функций, в
п. 3.2 была указана линейная зависимость к2 от г. Здесь мы рассмотрим
этот случай подробнее. Предварительно дадим сводку основных свойств того
специального вида вырожденных гипергеометри-ческих функций - функций
Эйри, через которые выражаются решения волнового уравнения в
рассматриваемом случае. Функции Эйри иашли широкое применение в теории
дифракции и распространения воли и неоднократно используются в этой
книге.
70
В полупространстве z < 0 с волновым числом вида
k2(z) = kon2(z), n2(z)*l±ez, а>0 (3.95)
уравнение (3.3) для вертикальной зависимости звукового поля записывается
следующим образом: d2 Ф
+ (*о - i± *о"г)Ф = 0. (3.96)
Введем вместо z независимую переменную t:
t = t" + z/H, I, - kl i, H- (aklym. (3.97)
Тогда вместо уравнения (3.96) получаем
Ф"(г) = гФ(г). (3.98)
Это уравнение носит имя Эйри; его решениями являются подробно
исследованные и протабулированные (см. [262], [240, гл. 10)] функции
Эйри.
Два линейно независимых решения u(t) и u(t) уравнения (3.98) могут быть
представлены как вещественная и мнимая части интеграла
Ф(Г) = /ехр (ts - - j3)da, (3.99)
vV г \ 3 /
где контур Г в комплексной плоскости s идет по лучу args = -2тг/3 из
бесконечности к нулю и по вещественной оси - от нуля до бесконечности.
Интеграл (3.99) сходится при всех комплексных значениях t и представляет
собой целую трансцендентную функцию аргумента t. Легко проверить, что
функция Ф(0> определяемая этим интегралом, удовлетворяет уравнению
(3.98). При t = 0 из (3.99) имеем
2V?e'"/6
Ф(0)= ' 1,0899290710 + 1 -0,6292708425,
3 3Г(2/3)
2V?e(3-100) Ф(0) = -п----------- =0,7945704328 -1 0,4587454481.
3 Г(4/3)
Ф(1) как целая трансцендентная функция разлагается в степенной ряд,
сходящийся при любых 1. Этот ряд имеет вид
[ I3 t* 1
Ф(1) = Ф(0) 1 + ------- + + ... +
I 2-3 (2 ¦ 5)(3 • 6) J
I3 Iе
+ 1ф (0) 1 +
3-4 (3 • 6)(4 • 7)
ф(0) 2 -1_____________ + "Ф'(0) 2
п *0
я-0 п
П (Зт - 1)3т П Зт(Зт + 1)
(3.101)
В случае вещественных значений t обозначим
Ф(?) = и (г) + *и(г), (3.102)
71
где "(f) и u(f) - вещественнозначные функции, являющиеся двумя линейно
независимыми решениями уравнения (3.98). Их разложения в ряды (которые мы
не выписываем) получаются сразу из (3.101). Для вронскиана с учетом
формул (3.100) имеем
"'(f)u(f) - w(f)i/(f) = 1 (3.103)
Интегральные представления функций u(t) и u(f) легко получаются из
(3.99). В часности, u(f) выражается интегралом Эйри:
и(Г) - тг"1/2 / cos(sf +|S3/3)ds. (3.104)
Функции u(t) и и (г) определены также и для комплексных f. Они являются
целыми трансцендентными функциями. При этом имеют место соотношения
Ф(Г) = "(f) + iu(0> Ф(Те,1Г) = ы(-Г) + iu(- f),
Ф(Ге'"Л") = Ф(гс4л/'3) = 2e,7T/6u(f), (3.105)
Ф(Те2л//3) = ey?r/3["(f) - i'u(f)], Ф(ге51Г,/3) = cITr/3["(-f)-rt>(-
f)]
Эти соотношения дают, в частности, выражения Ф(?) через вещественные
функции "(f) и u(f) на шести лучах- argf = "л/3, где п -0, 1, 2, 3, 4, 5.
Выпишем асимптотические выражения для функций Эйри и их производных. Для
этого введем систему коэффициентов
П (6т - 1)(бт - 5)
5 (5-11)7 m = i '
а,= 72' "г= >-2.(72)^ а"=' л!(72)" (ЗШ6)
(V13). 5 ,(6m +¦ 1)(6/я -7)
72' 1 ¦ 2 ¦ (72)2 ' л 1(72)"
Тогда имеем:
при f>0, w = (2/3)f3/I
u(()=f'V(lt 2
П = 1
u'(r)= rl/4ew ( 1 - Zb"w~n),
Я = 1
u(f) = 0,5f-,'4e-"'(l+ 2 (-l)\w"" ),
Л=*1
o'(f)" -0,5/1/4e-w ( 1 - 2 (-l)"Z>"w-" ) ; (3.107)
m = i
при f < 0, w = (2/3)(-()3';
"(0 = (-2r1'4|c°s^"'+ ^)<1+ +
') +
+ sin^w+ ^ 2 (-1)" + ,я2"_, w'~2" J ,
"'(f)"(-Ol/4^""^W+ ~^( 1 + S {-l)" + 1*2n"'_J" )
+ cos^w+ -^ 2 (-I)" + 1*2n- ,w'~2n J ,
u(0 = (-0"'/4 Jsin^w + "^(1+ 2 (-l)"a2"w-2" ) +
+ cos^w+ ^?(-\у'аг"-1к1-2п^,
"'(0 = с- ^)1/л COS+ ^(-1 + 2^(-l)nb2"w~2") +
+ sin^w+ ^ 2^(-l)" + 1*2"_1w1'"2" J . (3.108)
Функции Эйри выражаются чераз цилиндрические функции порядка
±1/3 следующим образом: при f > 0, w=(2/3)?3/2
u(f) = V"/3 [/-1/3(*V) + /V3Cw)], v(t) = 3_1 Vn7(/_ 1/3(w) - / 1/3(w)],
при f<0, w = (2/3)(-03'2
(3.109)
u(t) = V-"/3 \J__ 1/3(w) - J,/3(w)],
v(t) = 3_1V^ff |/-i/3(w)+/1/3(w)], (3.110)
Ф(0 =Vfr/3 e27rl/3H^(w).
В приложениях чаще встречается функция u(f). На рис. 3.9 дан график
v(t)/v(0), причем у(0) = 0,6293 (см. (3.100)). Эта функция осциллирует
при t < 0 и быстро, монотонно спадает до нуля при t > 0.
