Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Для любой стратификации плотности каждая (гладкая) функция 7j(z)
порождает ''решаемый" профиль k(z). Отражение волн разных частот,
падающих под различными углами, можно рассмотреть только, когда правая
часть (3.153) содержит произвольные аддитивную и мультипликативную
постоянные.
нии (3.151), вызванную стратификацией плотности, можно записать так:
Если известны точные решения для какого-либо профиля k(z) при р = р0 и
при любых углах падения, то волновое уравнение можно будет точно решить
также для зависимостей p(z), удовлетворяющих соотношению
Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение (3.156) для
к2 _ 3|
2 Р
(3.151)
2
(?2-?2)Ф = 0, ?(г) = Ро1 / p(zl)dzl.
(3.152)
+ (0,51п"?')''- [(0,51пт?')']2 +(v')2g(v)-
(3.153)
Добавку к квадрату эффективного волнового числа в уравне-
(3.154)
где
<р = 0,5(1пр)г.
(3.155)
у - ip2 =-а2, а = const.
Действительно, прн этом из уравнения (3.151) следует, что
(3.156)
Ф(2> ?) I р = p(z) ~
(3.157)
82
функции является частным случаем уравнения Риккати (см. [131, часть I, §
4]). В (3.156) переменные разделяются, что позволяет легко найти решение
уравнения и при помощи (3.155) отыскать соответствующие функции p(z).
После несложных преобразований получаем три зависимости плотности от z (в
полупространстве z < 0), при которых справедливо соотношение (3.157):
Здесь ро, a, z3 - произвольные постоянные, Константу размерности длины мы
обозначили z3, чтобы подчеркнуть ее независимость от значения z, в
формулах (3.23), (3.42), (3.54) и от значения z2 в (3.65). В случаях (а)
и (в) плотность среды не имеет особенностей в нижнем полупространстве при
конечных z. В случае (б) для этого нужно дополнительно потребовать z3 <
0. Значение р можно сделать ограниченным при всех вещественных z, взяв z3
комплексным (ср. текст перед формулой (3.65)). На среды со стратификацией
плотности вида (3.158) немедленно переносятся результаты п.п. 3.2 -3.5.
Рассмотрим на основе уравнения (3.151) также изменение плотности по
закону
Распространение упругих волн в жидкости и твердом теле с такой
стратификацией плотности изучалось рядом авторов (см, [120, 352] и
приведенную там библиографию). Добавка (3.154) к квадрату эффективного
волнового числа в этом случае равна - 0 (/3 + 2) (|z/zil+l)-2 (4z[)-1.
Интересно, что она обращается в нуль не только при /3 = 0, т.е. если р=
р0, но и при /3 = - 2. В последнем случае наличие стратификации плотнЬсти
при лю-бом c(z) сводится просто к домножению Ф(г) на \Jp{z) /р0 = |z/zi |
+ 1 (см. формулу (3.157), где теперь следует положить а = 0).
Рассматриваемый случай содержится в качестве предельного и в (3.1586)
(при а 0, Ро -+0, р0а~2 -"const < °°).
Для ''решаемых" через функции Уиттекера профилей k(z) из семейства
(3.23), полученных в п. 3.2, выписанную выше добавку к квадрату
эффективного числа легко учесть. Это достигается простым изменением
значения параметра т уравнения Уиттекера. Поэтому полученные для профилей
(3.23) результаты переносятся на среды с изменяющейся по закону (3.159)
плотностью. Например, в случае профиля (3.25) влияние стратификации
плотности, кроме домножения Ф(г) на \/p(z)/p0, состоит в замене а2 на а2
-0(0+ 2)/(4z\) в формулах для поля в неоднородной среде.
Дальнейшие результаты удобно получать на основе уравнения (3.152). Общее
соотношение для профилей-волнового числа, позволяющих выразить точные
решения волнового уравнения через решения опорного уравнения (3.7),
выводится аналогично (3.11) и имеет вид
р ~ Ро exp [±2a(z+z3)], р = p0sh~2a(z +z3), р = p0ch~2a(z +z3).
(3.158а) (3.1586) (3.158в)
p00 = po(U/z,| + O'3.
(3.159)
л2 (z(D) = ?2 + (-V{(°,5 In щ')" - [(0,5 In т/)']2 + Cv)2g(v)i ¦
(3.160)
\Ро /
6*
83
Здесь г? = т?(0 " поскольку именно f является независимой переменной в
уравнении (3.152). Если p(z) Ф р0, то соотношение (3.160) дает еще одно,
не совпадающее, вообще говоря, с (3.153), семейство ''решаемых" профилей
k(z). На примере профилей (3.54) и (3.65) из п. 3.3 мы покажем, как
соотношение (3.160) в конкретных ситуациях позволяет находить допустимые
зависимости p(z) по ''решаемым" (при р = р0) профилям c(z). Под
допустимыми функциями p(z) мы подразумеваем такие, при которых волновое
уравнение, как и при постоянной плотности, можно разрешить для любых со и
%.
Если взять то же опорное уравнение и ту же функцию т), которые привели к
''решаемому" профилю (3.63), то соотношение (3.160) примет вид
^(2(f)) = ^-) *о[1 +Wsh-26f +Msh~2b$ ¦ chbf] +?. (3.161)
Выражение для квадрата волнового числа имеет аддитивную и
мультипликативную произвольные постоянные не только при р = р0, но и при
а также при некоторых других зависимостях p(z). Рассмотрим случай
(3.162). Вместе с определением f(z) (см. (3.152)) выражение (3.162) дает
простое дифференциальное уравнение связи f и z :
Квадрат волнового числа как функция z дается выражением, следующим из
(3.161) и (3.164):
где ki, Ni, Mi - произвольные постоянные, связанные с параметрами к0, N,
