Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
уравнения Уиттекера и величиной q соотношениями q = Saf1 , -тг/2 < <arg q
< тг/2, а также
(3.43)
Z ~ -20*302
f'If - мКт(дП)', ь > о,
2?/'(ln w,,"(<?/))'. *<о.
(3-45)
58
Рис. 3.5. Типичные профили k2(z) из соотношения (3.43): а и б -
неоднородная среда содержит два внутренних антиволновода; в - внутренний
и приповерхностный волноводы, г - внутренние волновод и антиволновод.
Штриховыми пиниями показаны профили которые могут быть получены из
основных непрерывным изменением параметров
при каждом из следующих ниже сочетаний индексов:
1) / = 0, ж = ±(и + 1/2);
2)1 = 1/2 + т + п, m = ± 1/4;
3)/ = 6/2+л, т = (6-1)/2;
4)/"-6/2, т = {Ь- 1)/2;
5)1 = т + п +-1/2, т> 0.
Здесь п ~ 0, 1, 2,; ЬФ 0, -1,-2,..., 1 - п.
Аналогично, элементарные решения для любой гладкой замены переменной
/(г), удовлетворяющей условию f(z) -*•+"> лриг -*¦-°°, получаются при
следующих трех сочетаниях индексов, сводящих W} т к элементарной функции:
1)/=0, т = п +1/2;
2) / = (2и+ 1)/4, т = ±\ /4;
3) / = 2т + п + 1/2, т> 0,
где по-прежнему п = 0, 1, 2,.. .
3.3. Профили, допускающие точные решения на основе гилергео-метрического
уравнения. Гнпергеометрическим называют уравнение
d2F (а+ 0+1 )n - ydF а0
_ U_L _ _ F = 0> (346)
dV 4(1 " 4) dri 4(1, - 4)
Изложим кратко основные сведения о его решениях, которые потребуются нам
в дальнейшем. Известно (см.,напрнмер [250, гл.14] и [240, гл. 15]). что
уравнение (3.46) может быть удовлетворено следующим ''гипергео-
59
метрическим рядом":
Ft * F(a,p,y,r}) =
а(5 о(о + 1)0(0 + 1) 2 о(о + 1)(о + 2)0(0 + 1) (0 + 2) з
= 1+ л + ц* + - !Г + • • •
7 1-2-7(7 + 0 1-2 • 3-7(7+1X7 + 2)
(3.47а)
Этот ряд сходится при | 7j | < 1. Можно также показать, что вторым пиией*
но независимым решением уравнения, сходящимся в круге I tj( < 1, является
ряд
F2 = ч1-'1,Яо-7+1, 0-7+1, 2-7,4)- (3-476)
Уравнение (3.46) имеет три особые точки: 17 = О, 1, ". Соответственно.
имеется три пары линейно независимых решений, причем каждая пара этих
решений сходится около ''своей" особой точки. Так, вблизи
точки 17= 1 имеем фундаментальную систему решений
F3 = F(a, 0, о + 0 - 7+1,1- ti), (3.48а)
F" =(1 7-3, 7-а-0 +1,1 -ч), (3.486)
а вблизи точки tj = 00
Fs =7raF(a, о-7 + l, о-0+l, 1/tj), (3.49a)
F6 =7i'^F(0,0-7+1, 0 -a+1, I/77). (3.496)
Каждое из этих выражений представляет собой аналитическую функцию,
являющуюся решением уравнения (3.46) во всей области сходимости
соответствующих рядов.
Методом аналитического продолжения любое из решений Fj (/ = = 1, 2, . . .
, 6) можно продолжить за границы области сходимости соответствующего ему
ряда. При этом мы в новой области получаем уже три решения - одно,
продолженное из другой области, и два решения, даваемые формулами (3.47)-
(3.49). Так как в каждой области уравнение (3.46) должно иметь ровно два
линейно независимых решения, то между этими тремя решениями существует
линейная связь с постоянными коэффициентами В дальнейшем мы используем
лишь одну связь этого рода Так, оказывается [240, 250], что если решение
F5 аналитически продолжить в область 17j| < 1, то в этой последней
области аналитическое продолжение выразится через Fj и F2 при помошн
линейной комбинации
" Г(а-0+ 1)Г(1 -7) ^ Л , Г(а-0 + 1)Г(7~1)
Fs = (-1-------------------------Ft ----------------- --------------
Г(1 - 0)Г(1 + а - 7) ГХТ-0)Г(") '
(3.50)
где Г - гамма-функция.
Для функции
цЧг(1 - ")("+?+1~7)/2f (3.51)
гипергеометрическое уравнение записывается в виде (3.7), причем
g(v) = -V2[K, +Афг)(1 -чг1 +KiV(l -vy2l (3.52)
60
где
",=7(7-2), 4Я) = 1 - (а - 0)2 + 7(7 - 2),
4Х3 = (а + 0 - у)2 - 1.
(3.53)
Выражения (3.11) и (3.52) дают общий вид зависимостей k(z), для которых
точное решение волнового уравнения может быть выражено через
гипергеометрнчеекие функции. Как мы уже отмечали выше, наиболее интересны
те профили к2 (z), где наряду с другими свободными параметрами имеются
аддитивная и мультипликативная произвольные постоянные. Рассмотрим два
вида замен независимой переменной tj(z), для которых удается получить
профили указанного вида.
А. Пусть tj(г) = -exp [a(z + Z|)]" а Ф 0. Тогда выражения (3.11) и (3.52)
дают
fc2(z) = kl{ \ - ЛГехр [a(z + z,)] (1 + exp [a(z + z,)])"' -
- 4M exp [a(z + z,)) (1 + exp [a(z + z, )])"2}, (3.54)
где k0 и характеризующие форму профиля постоянные N нМ выражаются через
величины К\,Кг и К3 из (3.53) при помощи равенств
=(?2 -kl)a~2~l!4, К2 - ~klNa~2, К3 = -Ak\a~2 М. (3.55)
Впервые отражение волн (при нормальном падении) от такой среды было
рассмотрено в 1930 г. Эпштейном [350]. Поэтому неоднородный слой вида
(3.54) называют слоем Эпштейна. Точные решения в этом случае удается
получить при произвольных значениях частоты и угла падения волны.
Выразим параметры гипергеометрического уравнения aj и ) через
характеризующие слой параметры а, М к N. Из соотношений (3.53) и (3.55)
находим
а - ] /2 + у/1 - \ 6Mkla~2 + i \ а Г1 (\/ kl - ?2 - у/kl - %2 - klN),
Р= 1/2 +Vl - l6Mkla~2 +/|дГ' (х/*о -?2 + х/*3 - S2 - k*0N), (3.56) 7 = 1
