Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
условий, наложенных на р(г) при выводе соотношения (3.11),/ является
гладкой монотонной функцией г. Для профилей k(z), заданных равенствами
(3.11), (3.12а) и (3.13), коэффициент отражения удается выразить через
f(z), не конкретизируя вид этой функции.
Возможны три случая, различающиеся поведением f(z) при z -+ -°°.
Рассмотрим их последовательно.
1°. lim s Vo, 0<(т?о (<+<*>.
Z -*-oe
Из монотонности функции / следует при этом, что Нт / '= 0. Имеющее
физический смысл ограниченное решение для Ф(г) получается тогда в силу
(3.10) только при условии W{rio) = 0. Следовательно,
Ф (г) = const (Г'Г111[IV-m (-По ) Щ, m (v) - W,, m ("" ) IV _,, m (-")],
(3.14)
где W±iam(tr}) - функции Уиттекера. Они образуют фундаментальную систему
решений уравнения (3.12) [250]. Решение (3.13) нетривиально. т.е. Ф(г) Ф
0, поскольку точка р0 не является особой для уравнения (3.12), а потому
и W_i m(-ri), образующие фундаменталь-
ную систему решений, не могут обращаться в ней в нуль одновременно. 2°.
тК-~) = 0.
Еслн 2т не есть целое число, то в качестве фундаментальной системы
решений уравнения 13.12) удобно взять функции по-разному
ведущие себя в окрестности точки rj * 0 [250] :
M/.mfa) = vl,2 + m [1 +0(т?)]. (3.15)
50
Если 2т - целое число, то функция Mi jm| остается решением уравнения
(3.12), а фукция М{ _|ш| не определена. Зная одно из решений уравнения,
другое, линейно независимое с ним решение, получаем
обычным образом [131,4.1, § 17]:
МЫ = Л/,,|т|(п) / (3.16)
Отсюда,учитывая (3.15), легко найти асимптотику функции М при р-*0: 1л|
2 I от 1=1,2_____
Л/=" const-! (3.15а)
m = 0.
В случае | Re т | > 0,5 только одно из решений Mti \ т | и М, образующих
фундаментальную систему, обращаетси в нуль в точке т?=г?(-0°). Топа выбор
решения г/роизнояится на основе требования ограннчеииосги f (z) точно так
же, как при условии 0< | i < +°°. Наоборот, при
| Re w| < 0,5 любое решение > равнения (3.12) обрашасгся в
нуль в точке
р =0, и для отбора имеющею ф!ииче<.кий смысл решения нужно
привлечь
дополнительные соображения. Из формул (3.11), (3.12а) следует, что замена
т2 на т2 - /5 | т j 2, где 0 < 6 < 1, означает введение малой иоло-
жительно-мпимой добавки к k2(z)f соответствующей (как мы увидим в § 7)
появлению в среде поглощения звука Диссипация приведет к уменьшению
амплитуды поля, прошедшего в глубь неоднородной среды. Напротив, в нижней
среде вдали oi границы поле, созданное излучателями, расположенными на z
= - 00, возрастет. Изложенные соображения позволяют выделить при помощи
формул (3.15) и (3,15а) физическое решение. Им оказывается
Ф(г) = const(f')~1^2Mi>m(T}),
(3.17)
((-тг/2,тг/2], lRem|>0,5,
zs%mE.{
\(-тт, 0], | Re т | <0,5.
3°* |?(~сс)=
Поскольку число q произвольно, не ограничивая общности, будем считать для
определенности, что lim f(z)=+r:i0. В качестве фундаментальной
системы решений уравнения (3.12) возьмем Щ,т(*7) и р)- Эти
функции при р ведут себя следующим образом [250]:
R//,m(i?) = exP(-Ч/2)р;[1 + 0(P~')L laigp|<7i-5, 5>0. (3.18)
Еслн q - вещественное число, то формула (3.18) дает асимптотику только
одного из решений, образующих фундаментальную систему. Тогда асимптотика
функции Уиттекера от отрицательного аргумента определяется по асимптотике
(3.18) лннейно назависимого решения с положительным аргументом так же,
как выше была подучена формула (3.15а).
Прн Rep ^0 отбор физического решения волнового уравнения легко
осуществляется из требования ограниченности функции Ф в (3.8).
Рассмотрение случая Re q = 0 отличается от проведенного выше обсуждения
случая | Re т | <0,5 при р(-°°)=0 лишь техническими деталями. Поэтому,
41
51
не входя в подробности выкладок, приведем результат:
Ф^-соти/'Г^Г^' {319)
I W-t,m(-v), arg q 6 (-я, -я/2) и (гг/2, гг].
Таким образом, в совокупности формулы (3.14), (3.17) и (3.19) дают поле в
слоисто-неоднородной нижней среде при произвольной замене вида
(3.13). Коэффициент отражения плоской монохроматической волиы для любого
профиля вида (3.11), где g определено (3.12а), при фиксированных со и |
вычисляется при этом по формуле (3.5).
Покажем теперь, что любой гладкий профиль вещественного кг (г) может быть
рассмотрен описанным способом за счет выбора параметров /, т, q и функции
/. Нам нужно показать, что соотношение (3.11), рассматриваемое как
дифференциальное уравнение на функцию f{z) = 7? (2 ) /4, имеет решение
при любой (гладкой) зависимости к2 (2), по крайней мере, при некоторых
1,т и q. Положим / =0, т = 0,5 и q = 1. Тогда из (3.11) имеем более
простое уравнение на /:
(0,5 Inf Г - [(0,5 In/')')3 - (/'/2)2 = *3 - |3. (3.20)
Замена неизвестной функции по формуле
Дг) = 1п[1+/ U~4u)du} (3.21)
О
приводит (3.20) к виду (3.3):
U"(z) + (k2 -?2)i/(2) = 0. (3.22)
Уравнение (3.3) имеет гладкие вещественные решения но самой постановке
задачи; гладкость и монотонность /(г) видны непосредственно из
соотношений (3.21), (3.22). Следовательно, при любой достаточно гладкой
функции к2 (z) существует функция f(z), удовлетворяющая всем условиям,
