Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
неоднородность среды сосредоточена в ограниченной области и при z -*¦ -°°
скорость звука достаточно быстро (см. п. 3.2) выходит иа постоянное
значение, в глубине нижней среды звуковое поле вновь приобретает вид
плоской волны:
р = Wexp[i(?x- у[к\ -рз)], к2 ~-, с2 - lim с{г). (3.4)
Не зависящая от z величина W имеет смысл коэффициента прозрачности. Если
решение уравнения (3.3), удовлетворяющее условию на бесконечности.
найдено, то коэффициент отражения можно найти по формулам
(2.25), (2.20):
ZcosQ - Pi с, ^ / Ф
** " ' 1 I -
V =-
Z = -шрг
(3.5)
Zcosfl +P|Cj
Из условия непрерывности звукового давления на границе z = 0 и формулы
(3.4) находим выражение для коэффициента прозрачности
W = (1+К)Ф_1(0) lim [4>(z)exp((Vfc| -f2z)]. (3.6)
Z~*-
Несмотря иа видимую простоту одномерного уравнения Гельмгольца (3.3),
найти его решения в квадратурах удается только в исключительных случаях.
Общим приемом, позволяющим естественным образом отыскивать практически
все известные точные аналитические решения, является метод сведения
(редукции) уравнения (3.3) при помощи замены зависимой и независимой
переменных к какому-либо опорному дифференциальному уравнению, решения
которого известны. (О редукции обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка см., например, [131, ч. 1, § 25].) В качестве опорных
целесообразно брать уравнения возможно более общего вида, т.е. содержащие
в коэффициентах и, следовательно, в решениях возможно большее число
"свободных параметров.
Без потери общности линейное обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка можно записать в виде
Пусть для некоторой функции g(rj) известна фундаментальная система
решений уравнения (3.7), т.е. какая-либо пара его линейно независимых
решений. Выясним, для каких законов изменения скорости звука c(z) решения
уравнения (3.3) можно выразить через решения уравнения (3.7) при помощи
преобразования зависимой и независимой переменных в исходном уравнении:
Функцию т?(г) будем считать достаточно гладкой (фактически потребуется
существование и непрерывность производных т?(z) вппоть до третьей). Будем
считать drjjdz Ф 0; функция rj(z) - вообще говоря, комплекснозначная.
Выполняя в (3.7) замену переменных (3.8), после ряда довольно громоздких,
но простых выкладок получаем уравнение, которому удовлетворяет функция Ф:
Здесь и ниже штрихами обозначены производные от функции по ее аргументу,
в данном случае - по г. Функцию Q(z) мы выбрали так, чтобы в уравнении
(3.9) коэффициент при Ф/ был равен нулю:
Сопоставляя (3.3) и (3.9), мы видим, что решения уравнения (3.3) можно
выразить через известные функции W{т?) для тех неоднородных сред, где
волновое число удовлетворяет соотношению
при каком-либо выборе функции т?(z). Для сред с к2 (z) вида (3.11)
решение задачи об определенен звукового поля сводится к поиску такого
частного решения уравнения (3.7), что звуковое давление, найденное с
Помощью (3.8), удовлетворяет условиям на бесконечности.
Левая часть соотношения (3.11) ие зависит от угла падения волны. Поэтому
наклонное падение волны с произвольным ? можно описать, только когда
правая часть содержит аддитивную произвольную постоянную. Далее, в среде
без дисперсии к со. Следовательно, рассмотреть отражение
немонохроматнческой волны (с фиксированным углом падения) удается, только
если правая часть (3.11) содержит произвольную мультипликативную
постоянную. Таким образом, для наших целей годятся далеко не любые
функции r?(z) и ?(т?). В дальнейшем для краткости мы будем называть
зависимости k(z) (профили волнового числа звука), допускающие точные
решения задачи об определении коэффициента отражения плоской волны,
''решаемыми" профилями.
3.2. Построение ''решаемых" профилей k{z) на основе вырожденного
гипергеометрического уравнения [85, 86]. Рассмотрим случай сводимо-4.
Л.М. Бреховских 49
(3.7)
Ф(г) = Q(z)W(jt), П = rj(z).
(3.8)
ф" + {(0,5InV)" - [(O.Slnrj')']2 t (Ч')2Я(1)))Ф = 0.
(3.9)
Q = (ч'Г1/2
(3.10)
k2(z) = f + (0,5 In V)" - [(0,51n t?')']2 + (4')2g(T|)
(3.11)
сти уравнения (3.3) к вырожденному гипергеометрическому, которое нам
будет удобно взять в форме уравнения Уиттекера:
d2<W / 1 I 1 - 4т2 \ _ .
+ (__+-+_ J- )W=0. (3.12)
dr\ \ 4 г| 4"2 /
Другими словами, в уравнении (3.7) мы положим
1 1 1-4 тг
g(V) = -- + - + ~ГТ~- (3.12а)
4 rj 4тГ
Здесь /им- произвольные комплексные параметры. Решения уравнения
(3.12) выражаются через вырожденные гипергеометрнчеекие функции, в
частности, через функции Уиттекера и Их свойсша
подробно изучены в литературе но специальным функциям (см., например
(233, 240, 250]). Вырожденные гипергеометрнчеекие функции образуют
обширный двухпараметрический класс функций. При определенных значениях /
и m он включает широко используемые в математической физике
цилиндрические функции, функции Лагерра н Вебера.
Возьмем класс замен независимой переменной
"(О =<?№). q* 0, (3.13)
где q - комплексное число, f(z~) - вещественнозпачная функция. В енлу
