Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
прозрачности слоя
W = W32W2l}[exp(-i*p}+ V32V2l exp (1"]. (2.58)
*)Дпя неоднородной плоской волны "фаза" <р - комплексная величина.
36
Если выразить V2X> V32, W2i и W32 через импедаисы согласно (2.55),то, как
нетрудно убедиться, формулы (2.57) и (2.58) переходят в (2.49) и (2.54).
Для иллюстрации правильности результатов выше мы обращались к частным
случаям, когда слой фактически отсутствовал. Теперь рассмотрим другие,
более интересные частные случаи.
Полуволновый слой. Пусть набег фазы волны на толшине слоя равен целому
числу полупериодов, т.е.
\р = k2d cos д 2 = /тг, / = 1,2.... ' (-59)
При нормальном падении это означает, что d = l\2/2, где X 2 = 2irjk2 -
длина звуковой волны в материале слоя. Подставляя (2.59) в (2.47), мы
получаем для входного имледанса слоя Zln = Zx. Следовательно, коэффициент
отражения, согласно (2.41), равен V - {Zx -Z$)l{Zi + Z3). Таким образом,
полуволновый слой не оказывает никакого действия на падаюшую волну;
коэффициент отражения такой же, как если бы среды 3 и 1 соприкасались
непосредственно. В частности, если эти среды имеют одинаковые импедансы
(Z\ =Z3), то коэффициент отражения равен нулю. Это свойство полуволнового
слоя позволяет использовать его как фильтр частот или направлений.
Четвертьволновой просветляющий слой. Пусть теперь
= k2d cos в2 = п/2 + тг/, / = 0,1, 2, . . . (2.60)
При нормальном падении волны и / = 0 это означает d - Х2/4. Формула
(2.47) дает для входного импеданса Zin = Z2(ZX. Следовательно,
коэффициент отражения, согласно (2.41), будет равен
Таким образом, отражение монохроматической волны иа границе двух любых
сред можно целиком ликвидировать, поместив между ними четвертьволновой
слой с импедансом, равным среднему геометрическому импедансов этих сред.
Применение слоистых систем как фильтров, "просветляющих" и
звукоизолирующих покрытий, имеет многочисленные и весьма важные
технические приложения (см. [52, гл. 2]).
Просачивание волны через слой. Пусть в слое скорость звука больше, чем в
среде, из которой падает волна. Если бы слой был бесконечно толстым, то
при углах падения, превышающих критический, в нем происходило бы полное
внутреннее отражение. Однако в случае конечной толщины будет иметь место
частичное проникновение волны через слой. Это явление совершенно
аналогично рассматриваемому в квантовой механике явлению туннелирования
частицы через потенциальный барьер.
Из (2.43) мы имеем: sin 02 = к3к2' sin 93 = c2C3lsin03. При 93 > > arcsin
(с3/с2) (угол падения превышает критический угол полного внутреннего
отражения) получаем sin 02 > 1. т-е. 62 ~ комплексный
угол, а плоские волны в слое являются неоднородными. При этом cos д2 =
v =(zi -z,z,)/(z3 +Z1Z3).
Полное прохождение имеет место при Z, = (Z,Z3)1/2.
(2.62)
(2.61)
37
= ±/ \c\c11 sin203 -1|1^2. По формуле, аналогичной (2.28), из двух знаков
перед i нужно взять плюс. (Заметим, что прн другом выборе знака выражения
(2.48), (2.49) не дают правильного предельного перехода lim V = КЭг).
Таким образом, импеданс Z2 (2.46) и величина у (2.49)
-"00
оказываются чисто мнимыми:
Z2 = -i|Z2l, |Z2| = p2c2(c?cj"2sm283 - 1)~1/2,
ip - i I if I, M = k2d(c2cl2 sin203 - 1)1/2.
Рассмотрим подробнее случай, когда по обе стороны слоя расположены
одинаковые среды. Тогда Zэ = Zi - вещественные величины, и нэ формулы
(2.50) получаем
V = I V | exp (i0) = (Zf + |Z2 l2)(IZj I2 -z\ +2iZt | Z2 I cth .
(2.63)
Отсюда для модуля н фазы коэффициента отражения легко находвм
\V\ = (Z;+|Z2|2)[(Z2-|Z2|2)2+4Z;iZ2|2cth2|<,ir1'2. (2.63 а)
0 = arctg [2Z, IZ2 I (Zj - |Z2 I2 )"' cth I ^ |]. (2.636)
Из (2.63a) видим, что I V 1 < 1, т.е. всегда имеется просачивание волиы
через слой. Прн этом коэффициент отражения увеличивается с ростом толщины
слоя и I V | -> 1 при d -> °о,
2.5. Коэффициенты отражения н прозрачности для произвольного числа
слоев. Представим, что между двумя попубесконечнымн средами, которым мы
припишем номера 1 и п + 1, находится п - 1 однородных слоев с номерами 2,
3, . . . (рнс. 2.5). Пусть на границу последнего слоя под произвольным
утлом в" + 1 падает плоская звуковая водна. Требуется найти амплитуду
отраженной водны н водны, прошедшей в среду 1.
Найдем входной импеданс всей системы слоев Для этого доста-
точно (" - 1) разрекуррентноприменить формулу (2.47). В самом деде,
положив в ней Z^j > = Z >, d = d2 мы получим входной импеданс Z.(2) на
верхней граиице самого инжнего слоя
ZW-tZiH Z?) = л2 Lit
Z2-iZ.(1)s2
(2.64)
где используются обозначения Sj = tgifij, Ipf = kjdj cos Bj, sin 0/ =
(kn+l/kj) sin 0"+,,
Z; = P/C/Icose,,
/=1,2 n + 1. (2.65)
Puc. 2.5. К определению коэффициентов отражения и прозрачности системы
слоев
38
Далее, производя в правой части (2.64) замену zjj* -*Z^,Z2 -*Zit s2 -*
S3, мы получим выражение для Z^ - входного импеданса второго снизу слоя и
тд. После того как будет найден zj^~1 , требуемый входной импеданс
системы определится формулой
= - iZ"s"mn - (2.66)
а коэффициент отражения - выражением, аналогичным (2.29):
