Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
скачкообразно меняться скорость течения. Хотя такие модели часто
используются в акустике, следует иметь в виду, что течение со скачком
(тангенциальным разрывом) скорости является неустойчивым. Поэтому при
вычислении коэффициентов отражения н прозрачности для плоских волн мы
будем предполагать, что в среде, например в результате действия вязкости,
сформировалось устойчивое течение, которое отличается от заданной
днскретно-слонстой модели лишь в тонких по сравнению с длиной волны звука
переходных слоях в окрестности границ. Наличие тонких слоев практически
не сказывается на отражении н прохождении звука (мы видели это на примере
однородного неподвижного слоя в п. 2.4; для тонкого движущегося слоя с
произвольной стратификацией скоростей звука н течения, а также плотности
соответствующие оценки будут получены в гл. 2). Ниже мы будем
пренебрегать влиянием пограничных слоев, а также влиянием поглощения на
отражение звука.
В движущейся слоистой среде с кусочно-непрерывными параметрами звуковое
давление в волне с гармонической зависимостью от горизонтальных координат
и времени подчиняется уравнению (1.45) :
+ (?202-{Ъ(-^-) Р = 0, 0=1--, (2.76)
Эг \р/3 /
где координата f(z) определена равенством (1.44). Мы сохраняем здесь
обозначения п. 1.2. Граничные условия (1,46), которым удовлетворяет
звуковое поле на плоскостях z = const, имеют тот же вид, что и в
неподвижной среде. Представим их в эквивалентной форме, аналогичной
(2.21):
[Pb = 0, [Z]s = 0, (2.77)
где
Z= const ¦ p(dp/dty' (2.78)
Определенная таким образом величина Z обладает всеми свойствами импеданса
в неподвижной среде, которые обусловили ценность этого понятия в задачах,
рассмотренных выше. Действительно, эта величина не зависит
41
от горизонтальных координат, времени и амплитуды волны; она непрерывна на
границах раздела. Значение постоянной, входящей в (2.78), выберем так,
чтобы в отсутствие течения (v0 = 0, /3 = 1) соотношение (2.78) переходило
в (2.20). Тогда,учитывая (1.44),получаем
Z =-/cjpoP(9p/9f)_1. (2.79)
Или в обычных координатах:
Z = - iupfi2pibpjbzy1. (2.79а)
Вообще, определение (2.78) импеданса пригодно для волн любой лрироды,
если только соответствующее волновое уравнение представлено в виде
одномерного уравнения Гельмгольца и его коэффициенты не содержат
производных от параметров среды.
Импеданс гармонической волны в движущейся среде (2.79) имеет ясный
физический смысл. Как уже отмечалось при выводе формулы (1,29а),
вертикальное смещение г\ частицы в волне следующим образом связано с ^-
компонентой ее колебательной скорости w и давлением: т) = (- iwjil)-1 w =
( рсо2р2)"' 9p/9z.
Следовательно, с точностью до постоянного множителя импеданс равен
отношению акустического давления к вертикальной компоненте смещения
частицы в волне. По-видимому, впервые понятие импеданса было введено в
акустику движущихся сред (в дискретно-слоистой модели) в работе [513] и
независимо в работе [183], где было подчеркнуто значение понятия
импеданса для переноса результатов, полученных в случае неподвижных сред,
на движущиеся.
Рассматривая задачу об отражении плоской волны от дискретно-слоистой
среды общего вида, сохраним принятые в предыдущем разделе геометрические
обозначения и нумерацию слоев (см. рис. 2.5). Плоскость падения волны,
как и прежде, совместим с плоскостью xz. В слое с номером / волновое
уравнение имеет общее решение (см. формулы (1.30), (1.34))
Pf=Af exp[ikf(z - Zf_ j) (1 +Л/у sin Qj)~l cos dj] +
+ Bf exp[- ikj{z - zj_t) (1 +Л/,- sin Bff1 cos 6j ], (2.80)
где dj, как и в формуле (2.70), означает угол падения волиы. Для
краткости мы обозначили
= (2.81)
и опустили общий для всех слоев фазовый множитель, равный ехр{г
[fyxsinfl/ (1 + Л/у sin fly)"1 - <*>/]} . В этих обозначениях
0,- = 1 - {"0; ш-1 = (1 + М, sin в;)-1. (2.82)
Мы видим, что влияние течения на распространения звука происходит только
через проекцию вектора v0(z) на направление распространения фазы волны.
Углы в/ в разных слоях связаны условием равенства фазовых скоростей
следов волн на горизонтальных границах. Аналогично соотношению (2.196)
имеем
sinfl/[cy(l +Mj sin Qj)] ~l = sin 6n+l [cn+1(l +M"+,sinfl"+1)]-1.
(2.83)
42
Обозначим через Zy импеданс плоской волны, z-компонента групповой
скорости (1.37) которой в j-м слое отрицательна. По формулам (2.79а),
(2.80) н (2.82) находим
Zj = pj су[(1 +Л/у sin Qj) cos 0/]-1. (2.84)
Используя равенство (2.83), импеданс Z}- можно записать таким образом,
что от скорости течения в слое он будет зависеть только через угол 0/:
Zj - 2sin Вп+! (сп+! (1 + Мп+! sin Вп+1))" 1 р/ cj (sin 2Qjy1.
(2.84а)
Входной импеданс нижнего полупространства Z^ равен Z,. Пересчет
импедансов на вышележащие границы слоев производится последовательным
применением формулы (2.47) и дает (ср. (2.66)) :
Z<'+1> = Z/+I(Z1<"-iZ/+u,tl)(Z/+1 - tzf'Vi)-1, (2.85)
где Sj ~ tg<pj, а иабег фазы волны при прохождении слоя, согласно (2.80),
равен
(Р/ = kfdj cos Bj (1 + Л/у sin 0y)_1 =
